Когда выражение является полным дифференциалом
Обновлено: 05.10.2024
Помимо дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных уравнений и линейных неоднородных уравнений первого порядка, в практических задачах время от времени встречаются так называемые уравнения в полных дифференциалах. Да, конечно, ДУ в полных дифференциалах не такой частый гость в контрольных заданиях. Но освоить этот вид уравнений крайне важно, так как приёмы решения, о которых пойдет речь на данном уроке, потребуются при вычислении двойных, тройных, криволинейных интегралов, а также в ряде задач комплексного анализа.
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах – вещь довольно простая, вы даже удивитесь, насколько прозрачен и доступен алгоритм решения. Что необходимо знать, для того чтобы разобраться в этих диффурах? Во-первых, нужно ориентироваться в базовых понятиях темы, ответьте прямо сейчас на несколько простейших вопросов:
– Что такое дифференциальное уравнение?
– Что значит решить дифференциальное уравнение?
– Что такое общее решение, общий интеграл, частное решение?
В том случае, если возникло малейшее недопонимание терминов, или вы недавно столкнулись с диффурами и являетесь чайником, пожалуйста, начните с урока Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Согласитесь, плохо быть в неважной форме.
Во-вторых, необходимо уверенно находить частные производные. Всё будет крутиться вокруг них. Счастливые студенты, которые избежали плотного знакомства с частными производными на первом курсе, будут вынуждены добавить их в свои друзья, поскольку без навыков нахождения частных производных читать дальше просто нет смысла.
С любимых незабываемых частных производных и начнём.
Такая вот простенькая функция.
Требуется найти частные производные первого порядка , и составить полный дифференциал .
В контексте данного урока я поменяю букву «зет» на букву «эф»:
Дана функция двух переменных . Требуется найти частные производные первого порядка , и составить полный дифференциал .
Зачем потребовалась смена буквы? Традиционно сложилось, что в рассматриваемой теме в ходу буква . Кроме того, частные производные первого порядка будем чаще обозначать значками . Как мы помним из вводного урока про дифференциальные уравнения первого порядка, в диффурах «не в почёте» обозначать производную штрихом.
Решаем нашу короткую задачку.
Найдем частные производные первого порядка:
Полный дифференциал составим по формуле:
, или, то же самое:
В данном случае:
Решить дифференциальное уравнение
Но самое забавное, что уже известен ответ: , точнее, надо ещё добавить константу, получая общий интеграл , который является решением дифференциального уравнения .
Таким образом, дифференциальное уравнение имеет вид , то есть его левая часть является полным дифференциалом функции . Отсюда и название – уравнение в полных дифференциалах.
Как решить диффур в полных дифференциалах? Очевидно, нужно выполнить некоторые обратные действия, чтобы восстановить исходную функцию и записать общий интеграл , который задаёт семейство функций одной независимой переменной («икс»). Не так давно я что-то там дифференцировал. Какое действие является обратным? Правильно, интегрирование. То есть, речь пойдет о частном интегрировании, которое часто используется и в других задачах, упомянутых в начале урока.
Рассмотрим алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах
Итак, требуется решить дифференциальное уравнение:
Действие первое. Пожалуйста, забудьте задачку про частные производные и готовый ответ. Дело в том, что когда вам предложен для решения произвольный диффур, то вы ещё не знаете о том, что это уравнение в полных дифференциалах. И данный факт крайне желательно доказать в самом начале решения.
Докажем, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Как это сделать? Уравнение в полных дифференциалах имеет вид . Вспоминаем характерное и очень удобное равенство смешанных производных второго порядка: . Вот его и надо проверить:
, значит, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
На чистовике проверка проводится немного не так. Мы не имеем права использовать букву , так как изначально не знаем, является ли левая часть уравнения полным дифференциалом некоторой функции . А вдруг не является? Тогда вышеприведенные записи с буквой будут некорректны с математической точки зрения. Поэтому обычно используют нейтральные буквы «пэ» и «ку», а сама проверка на чистовике выглядит примерно так:
“
Проверим, является ли уравнение уравнением в полных дифференциалах:
, значит, данное ДУ является уравнением в полных дифференциалах
”
Вот только теперь, после доказательства, мы можем использовать букву «эф», поскольку показано, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом некоторой функции , и уравнение имеет вид:
Ну, а коль скоро уравнение имеет вид , то:
Таким образом, нам известны две частные производные, и наша задача состоит в том, чтобы восстановить функцию и записать общий интеграл .
Существуют два зеркальных способа решения. В статье я остановлюсь на более привычном способе решения, но в конце рассмотрю и второй зеркальный вариант, он не менее важен.
Действие второе. Работаем с верхней производной . Нижнюю производную пока запишем на листочек и спрячем в карман.
Если дана частная производная , то нужная нам функция восстанавливается с помощью обратного действия – частного интегрирования:
Когда мы берём интеграл по «икс», то переменная «игрек» считается константой. Как видите, принцип точно такой же, как и при нахождении частных производных.
Я запишу подробно, сначала используем свойства линейности интеграла:
Еще раз подчеркиваю, что «игрек» в данном случае является константой и выносится за знак интеграла (т.е. не участвует в интегрировании).
Здесь – некоторая, пока ещё неизвестная функция, зависящая только от «игрек».
Правильно ли вычислен интеграл? В этом легко убедиться, если выполнить проверку, т.е. найти частную производную:
– получена исходная подынтегральная функция.
Надеюсь всем, понятно, почему . Функция зависит только от «игрек», а, значит, является константой.
Действие третье.
Берем «недоделанный» результат и дифференцируем его по «игрек»:
Функцию мы пока не знаем, но производная-то по «игрек» у неё существует, поэтому запись – совершенно законна.
Действие четвертое.
Перепишем результат предыдущего пункта:
А теперь достаем из широких штанин листочек с производной:
и уничтожаем всё, что можно уничтожить:
Находим функцию , для этого нужно взять интеграл от правой части:
Заключительный аккорд: подставим найденную функцию в «недоделанный» результат :
и приравняем полученную функцию к нулю, получая тем самым:
Ответ: общий интеграл:
Проверка уже выполнена в самом начале урока – находим частные производные функции , составляем полный дифференциал и приравниваем его к нулю. В результате должно получиться исходное дифференциальное уравнение.
Второй способ проверки состоит в том, чтобы найти производную неявно заданной функции, ведь общий интеграл – это неявные функции одной (независимой) переменной:
Кому как нравится, кому как удобнее, главное, о проверке не забывать!
Решить дифференциальное уравнение
Решение:
1) Проверим, является ли данное ДУ уравнением в полных дифференциалах:
! Не теряем минус при записи !
, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах и имеет вид:
2) Запишем частные производные:
– будем работать с этой производной.
– про эту производную пока забываем.
где – некоторая, пока ещё неизвестная функция, зависящая только от «игрек».
Напоминаю, что, когда мы интегрируем по «икс», то переменная «игрек» считается константой и выносится за знак интеграла.
3) Берём «недоделанный» результат предыдущего пункта и дифференцируем его по «игрек»:
4) Переписываем найденный результат:
А теперь вспоминаем про «забытую» в начале второго пункта производную:
Приравниваем и упрощаем:
Примечание: На практике решение обычно записывают значительно короче, объединяя пункты № 3 и 4:
, то есть сразу же после нахождения производной приравнивается «забытая» производная. В последнем равенстве проводится взаимоуничтожение членов, откуда следует: .
Восстанавливаем функцию интегрированием по «игрек»:
В «недоделанный» результат пункта № 2 подставляем найденную функцию и записываем
ответ: общий интеграл:
Ответ можно записать и в стандартном виде , но здесь возникает любопытная особенность, о которой я рассказывал на уроке Дифференциальные уравнения первого порядка. Если мы переносим константу в правую часть, то, строго говоря, у неё необходимо сменить знак: . Константу (поскольку она может принимать любые значения) желательно переобозначить некоторой другой константой и записать общий интеграл в виде . Если же записать ответ в виде , то формально это будет ошибкой, а неформально – нет. Чтобы избежать лишних телодвижений с переобозначением константы или небрежности в оформлении, лично я предпочитаю оставлять ответ в виде
Выполним проверку. Найдём частные производные первого порядка:
Составим дифференциальное уравнение :
Получено исходное ДУ, значит, задание выполнено правильно.
Решить дифференциальное уравнение
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение в конце урока я записал максимально коротко без пунктов, то есть приблизил его к «боевым» условиям – примерно так нужно оформлять задачу на практике.
Многочлены хорошо, а другие функции – лучше. Рассмотрим еще пару примеров.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение: Проверим, является ли данное ДУ уравнением в полных дифференциалах:
,
, значит, данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах и имеет вид:
Запишем частные производные первого порядка:
– работаем с этой производной
– про эту производную пока забываем
Здесь является константой, которая вынесена за знак интеграла, а сам интеграл найден методом подведения функции под знак дифференциала.
Находим частную производную по «игрек»:
Это стандартное короткое оформление задания, когда после нахождения производной сразу приравнивается «забытая» производная .
Из последнего равенства следует, что , и это простейший случай:
Подставляем найденную функцию в «недоделанный» результат
Ответ: общий интеграл:
Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Это пример для самостоятельного решения, заодно проверите свои навыки в нахождении частных производных. Полное решение и ответ в конце урока.
А сейчас я рассмотрю обещанный зеркальный метод решения. Обязательно с ним ознакомьтесь, пригодится не только в диффурах, но и некоторых других задачах матана.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение:
Начало решения точно такое же, необходимо убедиться, что перед нами уравнение в полных дифференциалах:
,
, значит, данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах и имеет вид:
– про эту производную пока забываем.
– будем работать с этой производной.
Отличие состоит в том, что пляска начинается от другой производной. Может показаться, что второй способ «рассматривать не обязательно», но время от времени выручает именно он. Когда? Когда вы пытаетесь стандартно начать решение с верхней производной , но в результате получается очень трудный интеграл. В такой ситуации всегда следует попробовать начать решение с нижней производной , вполне возможно, что интеграл получится значительно проще.
Восстановление функции проведено частным интегрированием по «игрек».
Когда мы берём интеграл по «игрек», то переменная «икс» считается константой. Именно поэтому константа вынесена за знак интеграла и не принимает участия в интегрировании.
Функция зависит только от «икс» и пока ещё неизвестна.
Теперь находим частную производную по «икс»:
Вспоминаем о «забытой» производной:
Приравниваем результаты и проводим взаимоуничтожение дробей:
Функцию восстанавливаем интегрированием:
Добытый трофей подставляем в недостроенную функцию и записываем:
Ответ: общий интеграл:
Вторым способом можно было решить все примеры, которые мы рассмотрели до этого. Оба способа решения абсолютно равноценны, используйте тот, который вам удобнее.
Решить дифференциальное уравнение
Это пример для самостоятельного решения. Решение в образце проведено вторым способом.
Заканчиваю печатать эту статью и обращаю внимание на то, что она получилась неожиданно большой. Когда материалы по диффурам в полных дифференциалах были только в моих планах, думал, урок получится меньше по объему раза в два. Что делать, присутствует новый материал – частное интегрирование. А новый материал в две строчки не уместишь.
Существуют еще так называемые уравнения, сводящиеся к уравнениям в полных дифференциалах. Они решаются методом интегрирующего множителя. В моей практике такие уравнения встречались, но всего 2-3 раза, и я не счел целесообразным включать их в методические материалы. Если возникнет необходимость рассмотреть метод интегрирующего множителя, пожалуйста, обратитесь к специализированной литературе по диффурам, в частности, можно воспользоваться решебником Обыкновенные дифференциальные уравнения, авторы – М.Л. Краснов, А.И. Киселёв, Г.И. Макаренко. Разберётесь легко, поскольку такое уравнение могут предложить только по причине хорошей успеваемости =)
Надеюсь, объяснения были достаточно подробны и понятны.
Полного вам дифференциала!
Решения и ответы:
Пример 3: Решение:
Проверим, является ли данное ДУ уравнением в полных дифференциалах:
, значит, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах:
Таким образом:
Если , то:
Ответ: общий интеграл:
Пример 5: Решение: Проверим, является ли данное ДУ уравнением в полным дифференциалах:
,
, значит, данное ДУ является уравнением в полных дифференциалах и имеет вид:
Если , то:
В последнем равенстве всё, как в мечте:
Ответ: общий интеграл:
Пример 7: Решение:
,
, значит, данное ДУ является уравнением в полных дифференциалах и имеет вид:
Если , то:
Находим частную производную по «икс»:
Из последнего равенства после взаимоуничтожения дробей получаем:
Найдем :
Подставим найденную функцию в недостроенную функцию.
Ответ: общий интеграл:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
Читайте также: