Какая геометрическая характеристика плоских сечений определяется выражением
Обновлено: 20.05.2024
Рассмотрим формулы для определения геометрических характеристик плоских сечений: статического момента площади фигуры, осевых моментов инерции и радиуса инерции сечения.
При расчете элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость приходится кроме общеизвестной характеристики – площади поперечного сечения A, оперировать такими геометрическими характеристиками сечений, как статический момент площади, момент инерции, момент сопротивления, радиус инерции.
Статический момент площади
Интегралы вида:
называются статическими моментами площади сечения A относительно осей X и Y соответственно.
В тех случаях, когда сечение может быть разделено на простейшие фигуры площади Ai и координаты центров тяжести xi и yi которых известны, статические моменты площади сложной фигуры определяются через суммирование
Статические моменты площади имеют размерность [м 3 ] и могут принимать любые числовые значения. Для осей XC, YC, проходящих через центр тяжести сечения C (центральные оси), статические моменты равны нулю:
Координаты центров тяжести сечения определяются относительно так называемых вспомогательных осей по формулам:
Если сечение имеет ось симметрии, то центр тяжести находится на этой оси и его положение определяется одной координатой.
При наличии двух и более осей симметрии центр тяжести совпадает с точкой пересечения этих осей.
Моменты инерции
Размерность момента инерции [м 4 ], Ix, Iy, I ρ всегда положительны, Ixy может принимать любые значения, при этом, если хотя бы одна из осей является осью симметрии, Ixy=0.
Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей выражаются формулами:
где a, b – расстояния между осями X, XC и Y, YC.
Оси, относительно которых Ixy=0, называют главными, а осевые моменты инерции относительно них – главными моментами инерции.
Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют главными центральными осями, а соответствующие им моменты инерции – главными центральными моментами инерции.
Главные оси характерны тем, что их моменты инерции принимают экстремальные значения (Imax, Imin).
Момент инерции сложного сечения относительно какой-либо оси находится суммированием моментов инерции составляющих его частей относительно той же оси:
Радиусы инерции
Величины
называют радиусами инерции сечения относительно осей OX и OY соответственно.
Эллипс, построенный в главных осях, с полуосями, равными главным радиусам инерции
называют эллипсом инерции.
Читайте также: