Как записывается выражение для амплитуды результирующих колебаний

Обновлено: 04.10.2024

Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой.

Сложение колебаний будем проводить методом векторных диаграмм (рис. 2.2). Пусть колебания заданы уравнениями

(2.2.1)

Отложим из точки О вектор под углом φ₁ к опорной линии и вектор под углом φ₂. Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому их разность фаз не зависит от времени ( ). Такие колебания называют когерентными.

Нам известно, что суммарная проекция вектора равна сумме проекций на эту же ось. Поэтому результирующее колебание может быть изображено вектором амплитуды , вращающимся вокруг точки О с той же угловой скоростью ω, что и , и . Результирующее колебание должно быть также гармоническим с частотой ω:

По правилу сложения векторов найдем суммарную амплитуду:

Результирующую амплитуду найдем по формуле

(2.2.2)

Начальная фаза определяется из соотношения

(2.2.3)

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания.

Из (2.2.2) следует, что амплитуда А результирующего колебания зависит от разности начальных фаз . Возможные значения А лежат в диапазоне (амплитуда не может быть отрицательной).

Рассмотрим несколько простых случаев.

1. Разность фаз равна нулю или четному числу π, то есть , где . Тогда и

(2.2.4)

так как , т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний (колебания синфазны) (рис. 2.3).

2. Разность фаз равна нечетному числу π, то есть , где . Тогда . Отсюда

(2.2.5)

На рис. 2.4 изображена амплитуда результирующего колебания А, равная разности амплитуд складываемых колебаний (колебания в противофазе).

3. Разность фаз изменяется во времени произвольным образом:

(2.2.6)

Из уравнения (2.2.6) следует, что и будет изменяться в соответствии с величиной . Поэтому при сложении некогерентных колебаний не имеет смысла говорить о сложении амплитуд, но в некоторых случаях наблюдаются вполне определенные закономерности. Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой.

Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями. Строго говоря, это уже не гармонические колебания.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и , причем . Начало отсчета выбираем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Сложим эти выражения, пренебрегая , так как .

(2.2.7)

Результирующее колебание (2.2.7) можно рассматривать как гармоническое с частотой ω и амплитудой А_б, которая изменяется по следующему периодическому закону:

;

(2.2.8)

Характер зависимости (2.2.8) показан на рис. 2.5, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания, а огибающие их – график медленно меняющейся по уравнению (2.2.7) амплитуды.

Определение частоты тона (звука определенной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями – наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д.

Вообще, колебания вида называются модулированными. Частные случаи: амплитудная модуляция и модулирование по фазе или частоте. Биение – простейший вид модулированных колебаний.

Любые сложные периодические колебания можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте ω:

Представление периодической функции в таком виде связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье (то есть представление сложных модулированных колебаний в виде ряда (суммы) простых гармонических колебаний). Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами ω, 2ω, 3ω, . называются первой (или основной), второй, третьей и т.д. гармониками сложного периодического колебания.

Читайте также: