Как разложить подкоренное выражение на множители
Обновлено: 22.12.2024
На первый взгляд может показаться, что процедура разложения квадратного корня на множители сложная и неприступная. Но это не так. В этой статье мы расскажем вам, как подступиться к квадратному корню и множителям, а также легко и просто разложить квадратный корень, воспользовавшись двумя проверенными методами.
Разложение корня на множители
Для начала определим цель процедуры разложения квадратного корня на множители. Цель — упростить квадратный корень и записать его в удобном для вычислений виде.
Разложение квадратного корня на множители — нахождение двух или нескольких чисел, которые, при условии перемножения их друг на друга, дадут число равное исходному. Например: 4×4 = 16.
Если вы найдете множители, то сможете легко упростить выражение с квадратным корнем или вовсе его упразднить:
Разделите подкоренное число на 2, если оно четное.
Подкоренное число всегда следует делить на простые числа, поскольку любое значение простого числа можно разложить на простые множители. Если у вас нечетное число, то попробуйте разделить его на 3. Не делится на 3? Делите дальше на 5, 7, 9 и т.д.
Запишите выражение в виде корня произведения двух чисел.
Например, можно упростить таким способом 98 : = 98 ÷ 2 = 49 . Из этого следует, что 2 × 49 = 98 , поэтому можно переписать задачу следующим образом: 98 = ( 2 × 49 ) .
Продолжите раскладывать числа, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел.
Возьмем наш пример ( 2 × 49 ) :
Поскольку 2 уже и так максимально упрощено, необходимо упростить 49 . Ищем простое число, на которое можно разделить 49 . Очевидно, что ни 3 , ни 5 не подходят. Остается 7 : 49 ÷ 7 = 7 , поэтому 7 × 7 = 49 .
Записываем пример в следующем виде: ( 2 × 49 ) = ( 2 × 7 × 7 ) .
Упростите выражение с квадратным корнем.
Поскольку в скобках у нас произведение 2 и двух одинаковых чисел ( 7 ) , то мы можем вынести за знак корня число 7 .
Пример 2( 2 × 7 × 7 ) = ( 2 ) × ( 7 × 7 ) = ( 2 ) × 7 = 7 ( 2 ) .
В тот момент, когда под корнем оказалось два одинаковых числа, останавливайтесь с разложением чисел на множители. Конечно, если вы использовали все возможности по максимуму.
Запомните: существуют корни, которые можно упрощать многократно.
В таком случае, числа, которые мы выносим из-под корня, и числа, которые стоят перед ним, перемножаются.
180 = ( 2 × 90 ) 180 = ( 2 × 2 × 45 ) 180 = 2 45
но 45 можно разложить на множители и еще раз упростить корень.
180 = 2 ( 3 × 15 ) 180 = 2 ( 3 × 3 × 5 ) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5
Когда невозможно получить два одинаковых числа под знаком корня, это значит, что упростить такой корень нельзя.
Если после разложения подкоренного выражения на произведение простых чисел, у вас не получилось получить два одинаковых числа, то такой корень упростить нельзя.
Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать задание70 = 35 × 2 , поэтому 70 = ( 35 × 2 )
35 = 7 × 5 , поэтому ( 35 × 2 ) = ( 7 × 5 × 2 )
Как видим, все три множителя — простые числа, которые нельзя разложить на множители. Среди них нет одинаковых чисел, поэтому не представляется возможным вынести целое число из-под корня. Упростить 70 нельзя.
Полный квадрат
Запомните несколько квадратов простых чисел.
Квадрат числа получается, если умножить его на самого себя, т.е. при возведении в квадрат. Если вы запомните десяток квадратов простых чисел, то это очень упростить вам жизнь в дальнейшем упрощении корней.
1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100
В случае если под знаком корня квадратного корня находится полный квадрат, то стоит убрать знак корня и записать квадратный корень данного полного квадрата.
1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10
Попробуйте разложить число под знаком корня на произведения полного квадрата и другого числа.
Если вы видите, что подкоренное выражение раскладывается на произведение полного квадрата и какого-либо числа, то, запомнив несколько примеров, вы существенно сэкономите время и нервы:
50 = ( 25 × 2 ) = 5 2 . Если подкоренное число оканчивается на 25, 50 или 75, вы всегда можете разложить его на произведение 25 и какого-то числа.
1700 = ( 100 × 17 ) = 10 17 . Если подкоренное число оканчивается на 00, вы всегда можете разложить его на произведение 100 и какого-то числа.
72 = ( 9 × 8 ) = 3 8 . Если сумма цифр подкоренного числа равна 9, вы всегда можете разложить его на произведение 9 и какого-то числа.
Попробуйте разложить подкоренное число на произведение нескольких полных квадратов: вынесите их из-под знака корня и перемножьте.
Читайте также: