Как найти общий множитель выражения
Обновлено: 21.11.2024
Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.
Есть несколько способов разложения многочлена на множители. Один из них — вынесение общего множителя за скобки.
Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, которые представляют из себя суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один одинаковый для всех множитель. Он так и называется — общий множитель.
Вынесение общего множителя за скобки — это преобразование многочлена в произведение с помощью распределительного свойства умножения. Только в случае вынесения множителя за скобки это свойство применяется справа налево.
Формула вынесения общего множителя за скобки:
Покажем метод вынесения общего множителя за скобки на примере с цифрами:
Определение общего множителя для всех членов многочлена производится пошагово:
- Если у каждого члена есть коэффициент — находим число, на которое делится коэффициент каждого члена, и выносим его за скобки.
- Находим переменные, которые встречаются в каждом члене. Переменные выносятся за скобки в наименьшей встречающейся степени.
- Определяем многочлен, который должен остаться в скобках. При этом многочлен должен иметь столько же членов, сколько было в исходном многочлене.
Если нам дано произведение 6 * 2 и 6 * 5, то мы можем вынести за скобки общий множитель 5. В чем состоит данное преобразование? Мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, которое содержит сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.
Итак, вынесем общий множитель 5 в 6 * 2 и 6 * 5 и получим 6 * (2 + 5).
Итоговое выражение — это произведение общего множителя 6 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 6.
Так и получается: 6 * 2 + 6 * 5 = 6 * (2 + 5).
Правило вынесения общего множителя за скобки
Основное правило вынесения общего множителя за скобки
Чтобы вынести за скобки общий множитель, нужно записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.
Алгоритм вынесения общего множителя за скобки:
- Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, которые входят в многочлен. Он и будет общим числовым множителем.
- Найти общую буквенную часть для всех членов многочлена. При этом выбрать наименьший показатель степени.
- Произведение коэффициента и общей буквенной части, которые мы нашли на первом и втором шагах, является общим множителем, который выносим за скобки.
- Делим каждый член многочлена на вынесенный множитель и полученный результат записываем в скобках.
Важно! В скобках должно быть столько одночленов, сколько их было в многочлене.
Рассмотрим простой пример вынесения. Дано числовое выражение 4 * 7 + 4 * 3 - 4 * 5, которое является суммой трех слагаемых и общего множителя 4. Возьмем за основу выведенное правило и запишем произведение иначе: 4 * (7 + 3 - 5).
Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так:
4 * 7 + 4 * 3 - 4 * 5 = 4 * (7 + 3 - 5).
Определить сразу, какой множитель является общим, получается не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.
Рассмотрим разложение многочлена на множители методом вынесения за скобки общего множителя на примере многочлена: 12m - 6m - 3m. Ход решения:
Вынесение минуса за скобки
Еще один случай, на котором следует обратить внимание — это вынесение за скобки минуса. Только мы выносим не сам знак, а минус единицу. Часто это помогает упростить выражение и сделать его проще.
Пример 1. Вынести минус за скобки в выражении: -10 + (-1) + (-3)
Чтобы вынести минус за скобки, нужно записать перед скобками минус и в скобках записать все слагаемые с противоположными знаками:
Найдем решение для каждого выражения:
-(10 + 1 + 3) = -(14) = -14
Поэтому между выражениями можно поставить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:
-10 + (-1) + (-3) = -(10 + 1 + 3)
Пример 2. Вынести минус за скобки в выражении: -3 + 5 + 11
Ставим минус и рядом в скобках записываем выражение с противоположным знаком у каждого слагаемого:
-3 + 5 + 11 = -(3 - 5 - 11)
Как и в прошлом примере, здесь за скобки вынесен не минус, а минус единица.
Читайте также: