Как найти наименьшее значение выражения с модулем
Обновлено: 05.10.2024
Вот для начала короткое, хотя и несколько искусственное доказательство.
Значение выражения $%|2x-y-1|+|x+y|+|y|$% не меньше, чем $$|x-y/2-1/2|+|x+y|+|y|\ge|3y/2+1/2|+|y|\ge|y+1/3|+|y|\ge1/3.$$ Здесь два раза использованы неравенства вида $%2|u|\ge|u|$% и $%3|v|/2\ge|v|$%, а также два раза использовано неравенство треугольника по типу $%|a|+|b|\ge|a-b|$%.
Чтобы равенство достигалось, необходимо обращение в ноль тех чисел $%u$%, $%v$%, для которых были применены "ослабляющие" неравенства. Это значит, что $%y+1/3=0$% и $%x-y/2-1/2=0$%, откуда $%y=-1/3$%, $%x=1/3$%. На этом наборе (и только на нём) неравенства превращаются в равенства.
Более естественное (но и более длинное) доказательство может быть построено так. На координатной плоскости проводятся три прямые, заданные уравнениями $%2x-y-1=0$%, $%x+y=0$%, $%y=0$%. Они делят плоскость на 7 частей. Для каждой из частей, имеющей вид обобщённого многоугольника, известен знак каждого из трёх выражений под знаком модуля. Это позволяет в явном виде вычислить соответствующее выражение для каждой из частей. Оно оказывается линейной формой вида $%ax+by+c$%, где коэффициенты зависят от рассматриваемой части. Например, для "средней" части, представляющей собой треугольник, получается форма $%y-x+1$%. Для нахождения её минимального значения проводятся прямые, параллельные прямой $%y-x+1=0$%, и среди них выбирается "наинизшая", то есть такая, для которой значение формы ("целевой функции") минимально. Легко понять, что в данном случае значение выражения из условия задачи ограничено снизу, поэтому минимальное значение достигается, причём происходит это в граничных точках частей разбиения. В принципе, может быть так, что точек минимального значения много, то есть они могут образовывать целый отрезок, или луч, или что-то ещё. Но в любом случае окажется, что точкой минимума будет одна из "угловых" точек, то есть точка пересечения двух прямых. Этих точек у нас всего три: $%(0;0)$%; $%(1/2;0)$%; $%(1/3;-1/3)$%. Тем самым, достаточно сравнить значения нашего выражения в каждой из этих точек. Минимальным будет значение, принимаемое в третьей из точек, и оно равно $%1/3$%.
Если речь идёт только о нахождении такого минимального значения, то из общих соображений о достижении минимума на границах полигональных областей, следует, что можно обойтись без рассмотрения 7 случаев и без непосредственного вычисления каждой из 7 линейных форм. Достаточно лишь вычислить значения минимизируемой функции в точках пересечения. Правда, в задаче требуется ещё и выявить все точки минимума. Здесь также представляется возможным использование каких-то общих соображений, но это уже подробности, в которые не хотелось бы вдаваться.
отвечен 21 Фев '14 4:34
Спасибо. Хотелось бы понять что Вы имеете в виду, когда говорите "искусственное доказательство"
(21 Фев '14 13:28) SenjuHashirama@SenjuHashirama: я назвал это доказательство "искусственным", потому что хотя оно и является полностью корректным с математической точки зрения, но "со стороны" может быть не вполне понятно, каким образом к нему пришли. То есть, в силу чего догадались сделать именно такие, а не другие преобразования? Я сам к нему пришёл именно что "искусственным" путём, то есть сначала решил "по-честному", найдя точку (1/3;-1/3), а потом уже придумал соответствующую "цепочку" неравенств.
(21 Фев '14 14:31) falcaoЗдравствуйте
Читайте также: