Исчисление высказываний полная формальная аксиоматическая теория
Обновлено: 22.12.2024
Исчисление высказываний является простым примером формальной аксиоматической теории [19]. Порождение тождественно-истинных высказываний и является основной задачей исчисления высказываний.
Построим формальную аксиоматическую теорию исчисления высказываний в одном из возможных ее вариантов.
1. Алфавит исчисления высказываний состоит из:
а) высказывательных переменных, которые будем обозначать прописными буквами X,Y,…,Z;
б) символов логических операций, из которых выберем импликацию ® и инверсию ¯ (можно показать, что такая система соответствующих логических функций является функционально полной);
2. Формулы исчисления высказываний:
а) все переменные – формулы;
б) если А и В – формулы, то ( ) и (А®В) тоже формулы.
Пример. Пусть А,В,С – формулы.
Тогда: (С®(А®В)), ((( )®В)®( )) – тоже формулы.
Для сокращения записи опустим в формуле внешние скобки и те пары скобок, которые относятся к инверсии:
3.Аксиомыисчисления высказываний.
Аксиомы должны обеспечивать порождение всех тождественно истинных высказываний.
Рассмотрим одну из возможных систем аксиом, содержащую всего три аксиомы.
По сути А1-А3 – схемы аксиом, поскольку они порождают бесконечное множество формул, учитывая правило подстановки.
4. Правила вывода.
1) Правило подстановки.
Если Х – выводимая формула, содержащая букву А (обозначим Х(А)), то выводима и формула Х(В), получающаяся из Х заменой всех вхождений А на произвольную формулу:
2) Правило заключения.
Это правило называют Modus Ponens или сокращенно m.p:
Строго говоря, в правилах вывода использованы также схемы формул (метаформулы).
Рассмотрим аксиомы и убедимся в их тождественной истинности (тавтологичности, еще говорят – общезначимости).
Таким образом, все аксиомы, как и следовало ожидать, тождественно истинны, хотя мы и говорили, что аксиомы недоказуемы. Будем считать, что мы использовали метадоказательства.
1. Возьмем аксиому А2 и подставим формулу А®А вместо В и формулу А вместо С, в соответствии с правилом подстановки:
2. Подставим в А1(А®А) вместо В:
3. Обратим внимание, что это выражение является левой частью импликации, полученной после первого шага, то есть по правилу m.p:
получаем ((А®(А®А))®(А®А)), т.е. выражение под чертой.
4. Подставим теперь в А1 формулу А вместо В:
получим А®(А®А).
5. Обратим внимание, что это выражение также является левой частью выражения, полученного в результате третьего шага, то есть по правилу m.p:
Аналогично могут быть выведены другие тождества логики высказываний.
Более строго, в исчислении высказываний [19]:
1) всякая выводимая (из пустой системы гипотез) формула исчисления высказываний тождественно истинна;
2) если формула А исчисления высказываний является тождественно истинной, то она выводима.
Формальную аксиоматическую теорию называют непротиворечивой, если не существует формулы А такой, что одновременно выводимы А и .
В математической логике доказывается, что исчисление высказываний непротиворечиво.
Формальную аксиоматическую теорию называют полной, если добавление любой невыводимой формулы в качестве схемы аксиом приводит к противоречивой теории.
Читайте также: