Аналитическое выражение сигнала s t
Обновлено: 22.12.2024
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ
Нуль и единица - от Бога, все остальное - дело рук человеческих.
Леопольд Кронекер. Немецкий математик, XIX в.
Содержание: 10.1. Понятие аналитического сигнала. Комплексное представление вещественных сигналов. Аналитический сигнал. Спектральная плотность аналитического сигнала. 10.2. Примеры применения аналитических сигналов. Огибающая и мгновенная фаза сигналов. Мгновенная частота. Огибающие модулированных сигналов. Анализ каузальных систем. Литература.
Аналитический сигнал – это один из способов комплексного представления сигнала, который применяется при анализе сигналов и систем их обработки. Он позволяет ввести в анализ понятия огибающей и мгновенной частоты сигнала.
10.1. Понятие аналитического сигнала [1,25].
u(t) = U o cos ( w o t+ j )
заменяется комплексной формой записи:
В общем случае, произвольный динамический сигнал s(t), заданный на определенном участке временной оси (как конечном, так и бесконечном) имеет комплексную двустороннюю спектральную плотность S( w ). При раздельном обратном преобразовании Фурье реальной и мнимой части спектра S( w ) сигнал s(t) разделяется на четную и нечетную составляющие, которые являются двусторонними относительно t = 0, и суммирование которых полностью восстанавливает исходный сигнал. На рис. 10.1.1 приведен пример сигнала (А), его комплексного спектра (В) и получения четной и нечетной части сигнала из реальной и мнимой части спектра (С).
Рис. 10.1.1. Сигнал, спектральная плотность сигнала, четная и нечетная составляющие.
Аналитический сигнал. Можно выполнить обратное преобразование Фурье и в другой форме - раздельно для положительных и отрицательных частот спектра:
s(t) =S( w )·exp(j w t) d w + S( w )·exp(j w t) d w. (10.1.1)
z s (t) = Re z(t) + j·Im z(t).
Аналогичное преобразование первого интеграла выражения (10.1.1) дает сигнал z s *(t), комплексно сопряженный с сигналом z(t):
z s *(t) = Re z(t) - j·Im z(t),
что наглядно видно на рис. 10.1.2 при восстановлении сигналов по односторонним частям спектра, приведенного на рис. 10.1.1-В.
Рис. 10.1.2. Сигналы z(t) и z*(t).
s(t) = [z s (t)+z s *(t)]/2 = Re z(t).
Реальная и мнимая части спектра произвольных каузальных сигналов связаны преобразованием Гильберта. Оно позволяет производить определение любой части частотной характеристики каузальной функции, действительной или мнимой, путем свертки другой ее части с оператором Гильберта 1/ p f. Аналогично, мнимая часть аналитического сигнала z s (t) является аналитически сопряженной с его действительной частью Re z(t) = s(t) через преобразование Гильберта, и называется квадратурным дополнением сигнала s(t):
Im(z(t)) = = TH[s(t)] = s(t) * hb(t), (10.1.3)
z s (t) = s(t) + j Ч . (10.1.4)
где индексом обозначен сигнал, аналитически сопряженный с сигналом s(t), hb(t) – оператор Гильберта.
Z s ( w ) = z s (t) exp(-j w t) dt.
Z s ( w ) = S( w ) + j. (10.1.6)
S( w ) = Re S( w l ) + j·Im( w l ) + Re S( w r ) + j·Im( w r ),
= j · Re S( w l ) - Im( w l ) - j·Re S( w r ) + Im( w r ).
j· = -Re S( w l ) - j·Im( w l ) + Re S( w r ) + j·Im( w r ).
Z s ( w ) = S( w ) + j = = 2·Re S( w r ) + j·2·Im( w r ) = 2·S( w r ),
что полностью соответствует выражению (10.1.5). В краткой форме:
= = -j Ч sgn( w ) Ч S( w ), (10.1.8)
Hb( w ) = -j Ч sgn( w ) = (10.1.9)
Таким образом, спектральная плотность аналитически сопряженного сигнала образуется из спектра S( w ) исходного сигнала s(t) умножением на функцию -j Ч sgn( w ). Это обеспечивает при суммировании S( w ) + j удвоение амплитуд частотных составляющих в области положительных частот и их взаимную компенсацию в области отрицательных частот.
Из выражения (10.1.8) в спектральной области непосредственно следует соответствующая связь функций s(t) и во временной области:
s(t) = - * hb(t). (10.1.11)
где hb(t) = TF[-j Ч sgn( w )] = 1/( p t) – обратное преобразование Фурье функции -j Ч sgn( w ).
Частотную характеристику оператора Гильберта (10.1.9) можно записать и в следующем виде:
Hb( w ) = |Hb( w )| Ч exp(j j h ( w )), где |Hb( w )| = 1.
Hb( w ) = -j Ч sgn( w ) = , (10.1.12)
S( w ) = |S( w )| Ч exp(j j s ( w )),
то выражение (10.1.8) преобразуется к следующей форме:
= |S( w )| Ч exp(j j s ( w )) Ч exp(j j h ( w )) = |S( w )| Ч exp[j( j s ( w )+ j h ( w ))], (10.1.8')
т.е. модуль |S( w )| - амплитудный спектр сигнала как результат преобразования Гильберта сигнала s(t), не изменяется и остается равным амплитудному спектру сигнала s(t). Фазовый спектр сигнала (начальные фазовые углы всех гармонических составляющих сигнала) сдвигается на -90 о при w > 0 и на 90 о при w < 0 относительно фазового спектра сигнала s(t). Но такой фазовый сдвиг означает не что иное, как превращение косинусных гармоник в синусные, а синусных в косинусные. Это можно наглядно видеть на единичной гармонике. Так, если x(t) = cos(2 p f o t), то имеем следующее преобразование Гильберта через частотную область:
(t) = TH[x(t)] Ы TF[TH[x(t)]] = -j sgn(f) Ч [ d (f+f o )+ d (f-f o )]/2.
(f) = -j Ч [- d (f+f o )+ d (f-f o )]/2 = j·[ d (f+f o )- d (f-f o )]/2.
(t) = TF -1 [(f)] = sin(2 p f o t).
Таким образом, аналитический сигнал, по существу, представляет собой двух ортогональных сигналов, все гармонические составляющие которых сдвинуты по фазе на 90 0 друг относительно друга.
10.2. Примеры применения аналитических сигналов [1,2].
x(t) = u(t) cos ( w o t+ j (t)). (10.2.1)
Запишем выражение (10.2.1) в другой форме:
x(t) = a(t) Ч cos( w o t) + b(t) Ч sin( w o t), (10.2.2)
где функции a(t) и b(t) называются низкочастотными квадратурными составляющими сигнала x(t):
a(t) = u(t) cos j t, b(t) = u(t) sin j t.
u(t) =, tg j (t) = b(t)/a(t).
С использованием преобразования Гильберта из сигнала x(t) можно сформировать аналитически сопряженный сигнал (t). Математическую форму сигнала (t) получим из выражения (10.2.2) с учетом свойства модуляции преобразования Гильберта:
(t) = a(t) Ч sin( w о t) – b(t) Ч cos( w o t).
|z(t)| 2 = x 2 (t)+ 2 (t) = a 2 (t)[cos 2 ( w o t)+sin 2 ( w o t)] + b 2 (t)[cos 2 ( w o t)+sin 2 ( w o t)] = u 2 (t).
f( t ) = w o t+ j (t) = arctg[(t)/x(t)]. (10.2.4)
j( t ) = f( t ) - m o t.
Мгновенная частота сигнала определяется по скорости изменения мгновенной фазы:
Для амплитудно-модулированных сигналов с одной несущей частотой эти результаты достаточно очевидны (см. рис. 10.2.1). Но выражения (10.2.3-10.2.5), полученные из общих соображений, остаются действительными и для любых произвольных сигналов.
На рис. 10.2.2. представлен сигнал, сложенный двумя гармониками:
x(t) = a(t) Ч cos( w 1 t) + b(t) Ч cos( w 2 t).
(t) = a(t) Ч sin( w 1 t) + b(t) Ч sin( w 1 t).
Огибающая такого сигнала, как это можно видеть на рисунке 10.2.2, должна вычисляться по формуле (10.2.3). При этом для данного сигнала получаем:
что может существенно отличаться от функции .
Рис. 10.2.3. Рис. 10.2.4.
Мгновенная частота сигнала (рис. 10.2.4) также имеет нелинейную зависимость от времени, причем ее значения могут существенно превышать даже суммарное значение частот, составляющих сигнал:
Аналогичная методика определения огибающих, мгновенных значений фазы и частоты применяется и для анализа случайных процессов.
x(t) = U o Ч [1+m Ч s(t)] Ч cos w o t, s(t) Ј 1, m Ј 1
(t) = U o Ч [1+m Ч s(t)] Ч sin w o t, z x (t) = x(t) + j(t).
u(t) = |z x (t)| = U o Ч [1+m Ч s(t)],
Рис. 10.2.5. Амплитудная модуляция.
Балансная модуляция. Уравнение модулированного сигнала, приведенного на рис. 10.2.6:
x(t) = U o Ч s(t) Ч cos w o t,
(t) = U o Ч s(t) Ч sin w o t, z x (t) = x(t) + j(t), u(t) = |z x (t)| = U o Ч |s(t)|.
Рис. 10.2.6. Балансная модуляция.
Осуществим обратное преобразование Фурье для всех частей выражения раздельно:
x(t) =X(f) cos(2 p ft) df,
y(t) =Y(f) sin(2 p ft) df,
где x(t) и y(t) - четная и нечетная части функции h(t). Нечетная функция y(t) в каузальной системе однозначно связана с четной функцией x(t):
y(t) = sgn(t) Ч x(t). (10.2.6)
TF[y(t)] = (-j/ p f) * X(f) = (-j/ p ) [ X(u)/(f-u) ] du.
Y(f) = (1/ p ) [ X(u)/(f-u) ] du = ТН[X(f)],
т.е. мнимая часть спектра импульсного отклика каузальной системы (и любой каузальной функции) является преобразованием Гильберта действительной части спектра. Соответственно, уравнение для определения действительной компоненты спектра по мнимой части:
X(f) = -ТН[Y(f)] = -(1/ p ) [ Y(u)/(f-u) ] dv.
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы : Учебник для вузов. - М. : Высшая школа, 1988.
2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989. – 540 с.
25. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2003. – 608 с.
Читайте также: