Загадки ленты мебиуса реферат

Обновлено: 09.05.2024

Для многих людей математика является и трудной, и непонятной, и неинтересной. Сухомлинский считал», что чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». «Мышление начинается с удивления»,- заметил 2500 лет назад Аристотель. А математика замечательный предмет для удивления.

Цель работы: изучить и опытно – экспериментальным путём проверить свойства ленты Мёбиуса.

Результаты проведённых опытов, позволили сделать вывод, что лента Мёбиуса обладает не только свойством односторонности, но и такими, действительно, неожиданными свойствами, как непрерывность и связность.

Знания о листе Мёбиуса имеют и практическое значение в жизни человека. Свойство односторонности ленты Мёбиуса используют в технике. Лента Мебиуса нашла свое отражение и в художественных произведениях, искусстве.

Вложение	Размер
Знания о листе Мёбиуса имеют и практическое значение в жизни человека. Свойство односторонности ленты Мёбиуса используют в техни	358.5 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Брейтовская средняя общеобразовательная школа»

Индивидуальный итоговый проект

Лист Мёбиуса - удивительный феномен

Выполнила: ученица 9 «в» класса

Руководитель: Смирнова Елена Владимировна,

с. Брейтово, 2020 г.

На одном из уроков геометрии учитель нам поведал о таком удивительном открытии, как лист Мёбиуса (по-другому можно назвать «Лента»). Мне хватило услышать лишь несколько слов, чтобы заинтересоваться. После этого, я начала изучать различные сайты в интернете, посвящённые этой теме. А потом пришла идея написать работу по этой теме и поделиться своими знаниями и открытиями с окружающими. Мне бы хотелось рассказать об удивительной поверхности, которая имеет одну сторону и относится к «математическим неожиданностям». Несмотря на то, что лист Мёбиуса был открыт в XIX веке, он был актуален и в XX веке. Интерес к листу не угас и в наши дни. Удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в технике, физике, живописи, архитектуре, оформлении ювелирных изделий, бижутерии и даже в кулинарии. Он вдохновляет на творчество многих художников и писателей. Чем больше я читала и изучала лист Мёбиуса, тем загадочнее для меня он становился.

В процессе работы над проектом я изучила литературу, изготовила лист Мёбиуса и проводила исследования, изучая его «волшебные» свойства.

Цель: исследовать поверхность листа Мёбиуса и его свойства.

Изучить понятие топологии;
Познакомиться с биографией Августа Фердинанда Мёбиуса и с историей его замечательного открытия;
Описать лист Мёбиуса, а также процесс его изготовления;
Исследовать его свойства;
Выяснить, какие изобретения появились, в основе которых лежала односторонняя поверхность;
Установить области применения листа Мёбиуса.

Вид проекта: исследовательский.

Методы, использованные в работе над проектом:

изучение различных сайтов в интернете;
прочтение литературы по теме открытий Мёбиуса.

Объект исследования: лист Мёбиуса.

Предмет исследования: свойства и применение листа Мёбиуса.

Гипотеза: Если лист Мёбиуса имеет одну поверхность, то он обладает необычными свойствами.

Основная часть

Топология как наука

За последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии – топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии. Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения").

Топология – раздел математики, изучающий:

в самом общем виде – явление непрерывности;
в частности – свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. Например, связанность, ориентируемость, компактность.

Топология изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. Топология известна и под именем «Резиновая геометрия». Любую фигуру тополог имеет право сгибать, сжимать, скручивать и растягивать-делать с ней все, что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все ее свойства остались неизменными.

В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов. Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик (полноторий) – неотличимы.

Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии.

Биография Мёбиуса

Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) – немецкий математик, механик и астроном-теоретик ) . Родился на территории княжеской школы Шульпфорта, близ Наумбурга. (прил.1)

Отец умер, когда мальчику было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу высказал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в гимназии-интернате Шульпфорта, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. В 1858 году, в возрасте 68 лет, Мёбиусу удалось сделать открытие. Это открытие односторонних поверхностей. Существует несколько легенд того, как это произошло:

Виноват во всем портной, который неправильно вшил манжет рубашки;
Придумал ленту Мёбиус, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок;
На улице шел дождь. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного в голову не приходило на ум. На пороге комнаты появилась жена. Она была разгневана и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая ленту, профессор воскликнул: «Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!» Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.

В дальнейшем, Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался ответа и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

В связи с этим, он стал знаменит как изобретатель листа Мёбиуса, простейшей неориентируемой двухмерной поверхности с краем, допускающей вложение в трёхмерное Евклидово пространство. В профессиональной среде Мёбиус известен как автор большого количества первоклассных работ по геометрии, особенно проективной геометрии, анализу и теории чисел.

Мёбиус впервые ввёл однородные координаты и аналитические методы исследования в проективной геометрии. Получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования, позднее названного его именем, исследовал коррелятивные преобразования.

Август Мёбиус опубликовал также двухтомное «Руководство по статике» (1837), где вводятся барицентрические координаты точек плоскости. Обе эти книги фактически тоже относятся к проективной геометрии и её приложениям.

Он впервые рассмотрел пространственные алгебраические кривые третьего порядка и изучил их свойства. (прил.2)

В теории чисел именем Мёбиуса названы функция и формула обращения.

В 1840 году, задолго до широко известной проблемы четырёх красок, Август Мёбиус сформулировал похожую задачу: можно ли разделить страну на 5 частей так, чтобы каждая часть имела ненулевую границу со всеми остальными? Легко показать, что это невозможно.

Из других топологических достижений следует упомянуть, что он ввёл понятие уникурсальной кривой, то есть графа, который можно начертить, не отрывая пера от бумаги (другое название: Эйлеров граф).

В области астрономии Мёбиус опубликовал несколько значительных работ по небесной механике, о принципах астрономии и о планетных затмениях.

Описание листа Мёбиуса

У любого тонкого объекта, такого как лист бумаги, кусок ткани, доска или пластинка, как правило, две поверхности: наружная и внутренняя. Может ли у листа бумаги быть только одна поверхность? «Может!». И таким листом является лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом.

Лист Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью, то есть, пройдя вдоль всей его «средней линии» с поднятым вверх флажком, мы вернёмся в исходную точку, но флажок будет теперь «поднят» в другую сторону. Это значит, что флажок, не пересекая плоскость, попал из «внешности» во «внутренность».

Изготовление листа Мёбиуса

Чтобы вам было легче представить, как выглядит лента, я решила изготовить её макет. Ход своей работы я представлю в таблице. (прил.3)

Макет ленты Мёбиуса

Для изготовления макета листа Мёбиуса я использовала обычный лист бумаги, размером А4

Записав на листе бумаги нужные размеры, я выстригла полосу длиной 30 см и шириной 3 см.

Получив нужную деталь, я перекрутила на пол-оборота один конец, приклеила его к другому концу той же полосы и оставила в сухом месте на 5-10 минут.

Свойства листа Мёбиуса

При работе с информацией я смогла выявить следующие свойства листа Мёбиуса:

«Сотри случайные черты, и ты увидишь - мир прекрасен», - писал Александр Блок. Тополог всегда готов внять подобному призыву – во всех окружающих его предметах он ищет некие важные только ему одному качества. Например, непрерывность . Это топологическое свойство. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.

Другое интересное свойство – связность . Если квадрат полоснуть бритвой от стороны к стороне, то он распадается на два отдельных куска. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно два разреза. А телефонный диск можно десять раз рассечь ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он всё равно останется единым целым. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат - односвязен, кольцо - двусвязно, а диски с отверстиями – многосвязны. Лист Мёбиуса двусвязен, ведь фокус состоял в том, что, будучи разрезан вдоль, он превращался в одну целую ленту. Впрочем, если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборота – связность снова равна двум и так далее.

Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам ленты Мёбиуса, то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился в собственное отражение.

Односторонность – топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него. Убедиться в этом несложно: если окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, то в конце он будет полностью окрашен.

«Хроматический номер» - максимальное число областей, которое можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

Изобретения, в основе которых лежит односторонняя поверхность

Ли де Форест (1923) – трёхэлектродная лампа. Изобретатель предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек.

Амир Губайдуллин (1969) – бесконечная шлифованная лента, работающая обеими сторонами. Он предложил натянуть из спец. материала ленту Мёбиуса на два вращающихся ролика и покрыть её крупинками твёрдого абразива.

Павел Чесноков (1971) – фильтр непрерывного действия для жидкости, «отличающийся тем, что, с целью интенсификации процесса фильтрования и увеличения срока службы фильтрующего материала, лента выполнена в виде Мёбиуса листа».

Иван Киселёв (1972) – «бесконечный шлифованный ремень, выполненный на гибкой основе с нанесённым на неё абразивным покрытием и склеенный в кольцо с повёрнутой ветвью, отличающийся тем, что, с целью увеличения стойкости, он имеет в сечении форму многогранника с равными гранями, покрытыми абразивным слоем, а ветвь его повёрнута на одну грань».

Юрий Драбович и Игорь Криштафович – «магнитный сердечник, изготовленный из ферромагнитной ленты с изоляционным покрытием, отличающийся тем, что, с целью улучшения магнитных свойств сердечникапутём создания равномерного магнитного поля по его сечению, сердечник намотан в форме ленты Мёбиуса».

Джакобс (1963) – самоочищающийся фильтр, который представляет собой всё ту же ленту Мёбиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, работая при этом обеими сторонами.

Ричард Дэвис (1963) – электрическое сопротивление, обладающее нулевой реактивностью.

Применение листа Мёбиуса

Удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях.

Применение листа Мёбиуса в технике .

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

В метро ручка эскалатора, не что иное как лента Мёбиуса. Это позволяет ей равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины.

В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.

Лист Мёбиуса в повседневной жизни

Лента Мёбиуса вдохновляет создателей ювелирных украшений. Среди их работ можно встретить кольца и кулоны в виде ленты Мёбиуса.

Не остались равнодушными к ней и мебельщики. Одним из примеров их работы в этом направлении является шезлонг, который представляет собой ленту Мёбиуса, склеенную из гнутого Британского дуба.

Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста, также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса. (прил.4)

Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах, ленту Мёбиуса часто изображают на различных эмблемах и значках.

Например, на значке механико-математического факультета Московского университета. (прил.5)

Символ вселенной создан в виде ленты Мёбиуса. (прил.6)

Всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Более того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Я получила интересный математический материал. В ходе работы создала мультимедийную презентацию, в которые включены иллюстративные материалы о листе Мёбиуса.

Я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.

В результате проведённых исследований моя гипотеза о необычности свойств подтвердилась.

Лист Мёбиуса можно изготовить самостоятельно простым способом.

Лента используется в самых различных изобретениях и отраслях.

Выполняя работу по изучению листа, я узнала биографические сведения учёного, а также историю уникального открытия.

Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах.

Следующая загадка

Итоговый индивидуальный проект Виноградовой Дарьи представляет собой исследовательский проект в виде реферативной работы по выбранной теме, в котором продемонстрировано умения работать с различными источниками информации, сформулирована собственная точка зрения по рассматриваемой теме, выдвинута гипотеза и предложены методы исследования и рекомендации по доказательству гипотезы. Практическая значимость проекта велика. Проект будет интересен любителям математики для расширения математического кругозора. Его можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.

Вложение	Размер
Проект	39.01 КБ
Презентация	832.1 КБ

Следующая загадка

Практически все знают, как выглядит символ бесконечности, напоминающий перевернутую восьмерку. Этот знак называют еще «лемниската», что с древнегреческого означает лента. Представьте себе, что символ бесконечности очень похож на реально существующую математическую фигуру. Знакомьтесь, Лента Мебиуса!

1. Что такое Лента Мебиуса?

Лента Мебиуса (или ее еще называют петля Мебиуса, лист Мебиуса и даже кольцо Мебиуса) – одна из наиболее известных в математике поверхностей. Петля Мебиуса - это петля с одной поверхностью и одним краем.

Чтобы понять, о чем идет речь, и как такое может быть, возьмите лист бумаги , вырежьте полоску прямоугольной формы и в момент соединения ее концов перекрутите на 180 градусов один из них, после чего соедините. Разобраться в том, как сделать ленту Мебиуса поможет картинка ниже.

Что же такого примечательного в ленте Мебиуса?

Лента Мебиуса – пример неориентируемой односторонней поверхности с одним краем в обычном трёхмерном Евклидовом пространстве. Большинство предметов являются ориентируемыми, имеющими две стороны, например, лист бумаги.

Как тогда лента Мёбиуса может быть неориентируемой, односторонней поверхностью -скажете вы, ведь бумага, из которой она сделана имеет две стороны. А вы попробуйте взять маркер и заполнить цветом одну из сторон ленты, в конечном итоге вы упретесь в начальную позицию, причем вся лента окажется целиком закрашенной, что подтверждает наличие у нее всего одной стороны. Чтобы поверить в то, что у петли Мебиуса всего один край – проведите пальцем по одному из граней ленты не прерываясь, и Вы точно так же, как и в случае с раскрашиванием, упретесь в точку, с которой начали движение. Удивительно, не правда ли? Изучением ленты Мёбиуса и множества других интересных объектов занимается – топология , раздел математики, который исследует неизменные свойства объекта при его непрерывной деформации – растяжении, сжатии, изгибе, без нарушения целостности.

2. Открытие Августа Мебиуса

«Отцом» открывателем этой необычной ленты признан немецкий математик Август Фердинанд Мебиус , ученик Гаусса, написавший не одну работу по геометрии, но прославившийся преимущественно открытием односторонней поверхности в 1858 году.

Удивительным является тот факт, что ленту с одной поверхностью в тот же самый 1858 год открыл другой ученик Гаусса – талантливый математик Иоганн Листинг , придумавший термин «топология» и написавший серию основополагающих трудов по этому разделу математики. Однако свое название необычная лента все же получила по фамилии Мебиуса.

Есть расхожее мнение, что прообразом модели «бесконечной петли» стала неверно сшитая лента служанкой профессора Августа Мебиуса. На самом деле , лента была открыта давным-давно еще в древнем мире. Одним из подтверждений служит находящаяся во Франции, в музее города Арль древнеримская мозаика с такой же перекрученной лентой. На ней нарисован Орфей, очаровывающий зверей звуками арфы. На фоне неоднократно изображен орнамент с перекрученной лентой.

3. «Магия» ленты Мебиуса

Несмотря на кажущееся наличие у листа Мебиуса двух сторон, на самом деле сторона всего одна, и раскрасить в два цвета ленту не получится.

Если ручкой или карандашом начертить по всей длине петли линию, не отрывая руку от листа, то грифель в конечном итоге остановится в точке, с которой Вы начали чертить линию;

Примечательные опыты получаются при разрезании ленты, способные удивить, как взрослого, так и ребенка в особенности.

Для начала склеим ленту Мебиуса, как было рассказано ранее. Затем разрежем ее вдоль по всей длине ровно посередине, как показано ниже:

Теперь проведем другой эксперимент – сделаем еще одну петлю Мебиуса, после чего отмерим 1/3 ширины ленты и отрежем по этой линии. Результат поразит вас еще больше – в руках останутся две отдельные ленты разных размеров, соединенные вместе, как в цепочке: одна маленькая лента, и более длинная вторая.

У меньшей ленты Мёбиуса будет 1/3 от изначальной ширины ленты, длина L и поворот на 180 градусов. У второй более длинной ленты будет также ширина 1/3 от начальной, но длина 2L, а поворот на 360 градусов.

Еще один ф окус: с делайте ленту Мёбиуса, но перед склейкой поверните её не один раз, а три раза. Затем разрежьте её вдоль центральной линии. Получится замкнутая лента, завитая в узел трилистника.

Можно и дальше продолжать эксперимент, разрезая получившиеся ленты на еще более узкие, результат увидите сами.

4. Зачем нужна петля Мебиуса? Применение

Лента Мебиуса – вовсе не абстрактная фигура, нужная лишь для целей математики, она нашла применение и в реальной повседневной жизни. По принципу этой ленты функционирует в аэропорту лента, передвигающая чемоданы из багажного отделения. Такая конструкция позволяет ей служит дольше в связи с равномерным изнашиванием. Открытие Августа Мебиуса повсеместно исполбьзуется в станкостроении. Конструкцию используют для большего времени записи на пленку, а также в принтерах, использующих ленту при распечатке.

Благодаря своей наглядности, петля Мебиуса дает возможность делать современным ученым все новые и новые открытия. С момента обнаружения удивительных свойств петли по всему миру прокатилась волна новых запатентованных изобретений. Например, значительное улучшение свойств магнитных сердечников, изготовленных из ферро-магнитной ленты, намотанных по способу Мебиуса.

Н. Тесла получил патент на многофазную систему переменного тока, использовав намотку катушек генератора по типу петли Мебиуса. Американский ученый Ричард Дэвис сконструировал нереактивный резистор Мебиуса - способный гасить реактивное (емкостное и индуктивное) сопротивление, не вызывая элекстромагнитных помех.

5. Лента Мебиуса – широкое поле для Вдохновения

Сложно оценить важность значения открытия петли Мебиуса, которое вдохновило не только большое множество ученых, но и писателей, художников.

А. Дейч в одном из своих рассказов писал о том, как однажды в Нью-Йоркском метро пути пересеклись и весь метрополитен стал напоминать ленту Мёбиуса, а электрички, идущие по путям, стали пропадать, вновь появляясь, только спустя несколько месяцев. В книге Александра Митча «Игра в поддавки» герои попадают в пространство, которое напоминает бутылку Клейна (об этом чуть ниже). По произведению «Лента Мёбиуса» писателя фантаста Армина Дейча снят не один фильм.

Самой известной работой, посвященной ленте Мебиуса считается картина Moebius Strip II, Red Ants или Красные Муравьи голландского художника-графика Маурица Эшера. На картине представлены муравьи, карабкающиеся по петле Мебиуса с обеих сторон, на самом деле сторона всего одна. Муравьи ползут по бесконечной петле друг за другом по одной и той же поверхности.

Художник черпал свои идеи из статей и трудов по математике, он был глубоко увлечен геометрией. В связи с чем на его литографиях и гравюрах часто присутствуют различные геометрические формы, фракталы, потрясающие оптические иллюзии.

До сих пор интерес к петле Мебиуса находится на очень высоком уровне, даже спортсмены ввели одноименную фигуру высшего лыжного пилотажа.

В форме петли Мебиуса создается огромное множество украшений, обуви, скульптур и многих других предметов и форм.

Лист Мебиуса наложил отпечаток на производство, дизайн, искусство, науку, литературу, архитектуру.

6. Научные гипотезы

Умы многих людей волновала схожесть формы молекулы ДНК и петли Мебиуса. Существовала гипотеза, которую выдвинул советский цитолог Навашин, что форма кольцевой хромосомы по строению аналогична ленте Мебиуса. На эту мысль ученого натолкнул тот факт, что кольцевая хромосома, размножаясь, превращается в более длинное кольцо, чем в самом начале, или в два небольших кольца, но как в цепи продетых одно в другое, что очень напоминает выше описанные опыты с листом Мебиуса.

В 2015 году группа ученых из Европы и США смогла закрутить свет в кольцо Мёбиуса . В научном опыте ученые использовали оптические линзы, и структурированный свет - сфокусированный лазерный луч с преопределенными интенсивностью и поляризацией в каждой точке своего движения. В итоге были получены световые ленты Мебиуса.

Есть еще одна более масштабная теория. Вселенная – это огромная петля Мебиуса . Такой идеи придерживался Эйнштейн. Он предположил, что Вселенная замкнута, и космический корабль, стартовавший из определенной ее точки и летящий все время прямо, возвратится в ту же самую точку в пространстве и времени, с которой и началось его движение, но уже в своем зеркальном отображении.

7. Загадочная бутылка Клейна

На основе ленты Мёбиуса существует ещё одна удивительная фигура – бутылка Клейна. Она представляет с собой бутылку, у которой на дне есть отверстие. Горлышко бутылки удлинено и загнуто, проходя в одну из стенок самой бутылке.

Такую фигуру невозможно воспроизвести в обычном трехмерном пространстве, ведь горлышко не должно касаться стенки бутылки и соединено с отверстием в ее дне. Таким образом, получается поверхность, которая имеет всего одну сторону. Бутылка Клейна и лента Мёбиуса до сих пор привлекает внимание учёных, а также писателей.

В Екатеринбурге в честь 285-летия в 2008 году установлена скульптура "Лента Мёбиуса". Скульптурный ансамбль высотой четыре метра отлит из бронзы. Автор композиции, известный уральский скульптор Степан Адуашвили рассказал, что "Лента Мёбиуса" символизирует связь между прошлым и будущим.

В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра “Горизонт” находится памятник “Ленте Мёбиуса”. На основании скульптуры есть девиз: "Разные точки зрения на один предмет".

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям.

Мир до сих пор остаётся для нас огромной загадкой, и кто знает, какие ещё причуды пространства откроют учёные в ближайшем будущем.

Список источников и литературы:

Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.— М.: Наука, 1989.

Предварительный просмотр:

Цель работы: изучить и опытно – экспериментальным путём проверить свойства ленты Мёбиуса.

2. А. Ф. Мёбиус и его открытие . 5

2.1 .А.Ф.Мёбиус и его поразительное открытие………………………………….5

2.2.Что такое топология. 5

3.Свойства ленты Мёбиуса. . 7

4. Применение ленты Мебиуса

6. Список использованной литературы… ………………………………….. 10

«Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Это знаменитое высказывание М.Л.Ломоносова известно всем.

На самом деле математика - орудие, с помощью которого человек познаёт и покоряет себе окружающий мир. Она нужна каждому и на ЕГЭ математику сдают все. Однако результаты экзамена за последний год показывают, что до 60% выпускников сдали его на «3», если бы переводили баллы в отметки, и к сожалению есть выпускники, получившие двойки. Это лишь один из показателей того, что для многих людей математика является и трудной, и непонятной, и неинтересной. Отсутствие интереса к изучению математики создаёт серьёзную исследовательскую проблему – как сделать данный предмет увлекательным для всех.

Ещё Блез Паскаль - великий французский физик и математик утверждал: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая, сделать его немного занимательным».

Я сделал вывод, что математика полна неожиданностей на примере открытия А.Ф. Мёбиуса, его знаменитого бумажного кольца с сюрпризами. Я предположил, что лист Мёбиуса, как топологическая фигура, обладает действительно неожиданными свойствами.

Отсюда, объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности. Предмет исследования: свойства односторонний поверхности на примере ленты Мёбиуса

-изучить и опытно – экспериментальным путём проверить удивительные свойства ленты Мёбиуса.

В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определились следующие задачи :

- раскрыть понятие топологии;

-изучить вклад А.Ф. Мёбиуса в развитие науки топологии;

- описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления;

- показать использование листа Мёбиуса в искусстве;

- проверить опытно-экспериментальным путём эти свойства .

Метод исследования: практический эксперимент.

Теоретическая значимость работы в том, что в последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии .

2. . А.Ф. Мёбиус и его поразительное открытие

2.1 . Мёбиус Август Фердинанд

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка.

1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят лента Мёбиуса) открыл в1858г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те времена изучение математики не встречало поддержки, а занятие астрономией давало достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляло время для размышлений. А.Ф. Мёбиус - в течение более чем 15 лет наблюдатель, а потом директор Лейпцигской астрономической обсерватории, был разносторонним ученым. Он сделал много интересных открытий, стал одним из крупнейших геометров Х1Х в. В возрасте 68 лет он сделал поразительное открытие - односторонние поверхности, одна из которых - лист Мёбиуса. В своей работе «Об объёме многогранников» он описал геометрическую поверхность, обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону! Мёбиус является одним из основателей современной топологии.

2.2.Что такое топология?

Тополо́гия (от греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел геометрии, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек).

Сама топология, можно сказать, началась именно с листа Мёбиуса.

Что такое “Лента Мебиуса”? Она относится к числу “математических неожиданностей”. В 1858 г. Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мебиус, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

Одновременно с Мебиусом изобрел этот лист Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мебиус – в 1862г. Открыть свой “лист” Мебиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты.

Возьмем бумажную ленту, повернем один ее конец на пол-оборота (на 180 градусов), а потом склеим его с другим концом. Получим ленту Мебиуса ( приложение 1).

Слово это придумал Иоган Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, который почти в тоже время, что и его лейпцигский коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам, единожды перекрученную, ленту.

Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не изменяются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – «взрыва» фигуры. Топология известна и под именем «резиновая геометрия», потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

Топология-«геометрия положения». У этого листа есть удивительные свойства: он имеет один край, одну сторону. Данные свойства не связаны с его положением в пространстве, с понятием расстояния, угла и, тем не менее, они имеют геометрический характер. Изучением этих свойств занимается топология. Свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны с наиболее абстрактными математическими дисциплинами - алгеброй и теорией функций. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины). С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и тоже. Сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Понятие и теоремы топологии полезны во всех областях математики, в технике, в экономике, психологии.

Топология – одна из наук, в которых не решены многие проблемы. Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах ( и то не во всех!).

3. Свойства ленты Мёбиуса

Чем знаменита “Лента Мебиуса”? Лента Мёбиуса преподнесет нам не один сюрприз

Она имеет только одну сторону.

Раскрасим внутреннюю и внешнюю сторону обычного кольца разными красками.
Попробуем раскрасить ленту Мебиуса.

Вывод : «Если кто-нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишет Рихард Курант и Герберт Робинс в превосходной книге «Что такое математика?»

Лента Мебиуса – односторонняя поверхность.

Можно провести еще опыт, подтверждающий данный вывод.

На внутреннюю сторону обычного кольца посадим зайца, а на наружную волка. Разрешили бегать как угодно, запретив перелезать через края кольца.

Вывод : они не встретятся; каждый пробежит только одну, «свою» сторону кольца.

Посадим на ленту Мебиуса зайца и волка. Разрешим им бежать в разных направлениях.

Вывод : заяц и волк столкнулись! Лента Мебиуса – односторонняя поверхность.

Этой поразительной особенностью не исчерпываются свойства ленты Мебиуса. Попробуем закрасить узенькую полоску ее края.

Вывод: у ленты Мебиуса не только одна сторона , но и только один край! Лента Мебиуса непрерывная поверхность.

Лента Мёбиуса преподнесет нам не один сюрприз, если вы попытаетесь ее разрезать.

Сначала разрежем по середине. “Ну вот, - подумали вы, - сейчас получиться два отдельных кольца”. Но что это? Вместо двух колец получается одно! Причем оно больше и тоньше другого.

Если разрезать ленту на расстояние 1/3 ее ширины от края, то получиться два кольца. Но! Одно большое и сцепленное с ним маленькое.

Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль, посередине, то у вас окажется весьма “затейливое” переплетение двух колец – одинаковых по размеру, но разных по ширине.

Вывод : лента Мёбиуса обладает еще одним неожиданным свойством не только непрерывности, но и связности.

Что получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (т.е. на 360градусов)? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.

Свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль по середине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между с собой.

Разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать кольца по очереди – и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.

Таким образом, мы убедились, что лента Мёбиуса обладает не только свойством односторонности , но и такими неожиданными свойствами, как непрерывность и связность.

4. Применение ленты Мебиуса.

Свойство односторонности листа Мебиуса было использовано в технике: если ременной передачи ремень сделать в виде листа Мебиуса, то его поверхность будет изнашиваться в двое медленнее, чем у обычного кольца. Это дает ощутимую экономию.

Есть авторское свидетельство на магнитофон с лентой Мёбиуса: получают ленту, которая долговечней обычной также в 2 раза.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Физики утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

Лента Мебиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лента Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.

Лист Мёбиуса в искусстве.

Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах. Лента Мебиуса вдохновила многих художников на создание известных скульптур, картин и для графического искусства . Чудесные свойства породили множество многочисленных фантастических рассказов. В одном из них, описывался случай в Нью-Йоркском метро, когда потерялся во времени поезд, отправившийся в путь по пути, замкнутом в ленту Мебиуса.

Серию вариантов листа Мёбиуса создал скульптор Макс Билл (родился в 1908). В течение почти 20 лет он неоднократно обращался к листу Мёбиуса, стремясь выразить в скульптуре идею вечного движения и развёртывающейся в пространстве формы. Скульптура «Узел без конца» находится в музее современного искусства в Париже. [5] Немецкий математик Феликс Клейн в 1882г. построил ещё одну одностороннюю поверхность, но уже замкнутую, которую в честь него назвали бутылкой Клейна (приложение 3, рис.2, рис.3).

Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мебиуса и приобретает удивительные свойства.

Описывая лист Мёбиуса и процесс его изготовления, раскрывая опытным путём свойства этого поразительного открытия, мое предположение подтвердилось: лента Мёбиуса обладает не только свойством односторонности, но и такими, действительно, неожиданными свойствами, как непрерывность и связность.

Читайте также: