Загадки арифметической прогрессии проект
Обновлено: 04.11.2024
• В Вавилонском царстве всеми расчетами занимались писцы, которые
принадлежали к высшему сословию. Школа, где обучались писцы,
называлась «дом табличек». Для таких школ предназначались специальные
математические таблички. Тексты на них можно было разделить на два
класса: Таблицы и задачники.
Среди задач на табличках встречаются задачи на арифметические и
геометрические прогрессии.
Вавилонские писцы знали правила суммирования n членов арифметической
прогрессии:
n(a a )
1 n
S
n
2
12. Арифметическая прогрессия
• Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел,
каждое из которых получается из предыдущего путем
прибавления или вычитания некоего постоянного числа.
• Числовую последовательность, каждый член которой, начиная
со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же
числа d, называют арифметической прогрессией. Если разность
между последующим и предыдущим членами
последовательности есть одно и то же число, то
это арифметическая прогрессия. Разумеется, при этом
предполагается, что обнаруженная закономерность
справедлива не только для явно выписанных членов
последовательности, но и для всей последовательности в
целом.
• Арифметическая прогрессия считается конечной, если
рассматриваются только ее первые несколько членов
3. история
10. Историческая справка
А известно ли вам, что создание формулы 1-х n – членов
арифметической прогрессии тесно переплетается с
именем такого ученого, как Карл Фридрих Гаусс. Будучи
еще совсем ребенком, он проявлял себя истинным
вундеркиндом, и кроме того, что умел читать и писать,
умудрялся исправлять ошибки отца в подсчетах.
Если верить легенде, то во время учебы, когда учитель
предложил детям сосчитать сумму чисел от одного до
ста, то восьмилетний Карл Гаусс очень быстро нашел
искомую величину, так как смог заметить, что попарные
суммы с противоположных сторон имеют одинаковый
результат. Немного позднее он вывел формулу
арифметической прогрессии.
А вот «прогрессия», как термин появился в шестом веке
благодаря римлянину Боэцию и воспринимался, как
бесконечная числовая последовательность. И уже
древние греки из теории непрерывных пропорций
выделили такие названия, как «арифметическая» и
«геометрическая» прогрессия.
Задание: А вы сможете быстро подсчитать сумму от 1 до
100? Может среди нас тоже есть Гауссы-вундеркинды?
2. Загадки арифметической прогрессии
План
История(параллельно примеры)
Что это такое?
Формулы
Теорема(определение)
Арифметические прогрессии в
нашей жизни
8. Примеры из Вавилонии
• Какие задачи решали в Вавилоне? Среди задач
на табличках встречаются задачи на
арифметические и геометрические
прогрессии. Вавилонские писцы знали
правила суммирования n членов
арифметической прогрессии:
• Примеры арифметических и геометрических
прогрессий 1;2;3;4….. - натуральные числа
2;4;6;8;…. - четные числа 2;4;8;16;…. –
геометрическая прогрессия
5. Задачка из древнего Египта задача из папируса Ахмеса
• Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность
между каждым человеком и следующим за ним составляет 1/8 меры»
• Если камушки (или другие предметы) разложить рядами в форме
треугольника так, что в первом ряду положить 1 камень, во втором – 2
и т.д., то их количество называли «треугольным числом». Таким
образом, треугольные числа образуют такую последовательность: 1, 2,
3, 4, …, а сумма этих камушков образует треугольное число.
• Треугольное число - это и есть сумма
• n-первых членов арифметической
• прогрессии.
Следующая загадка
Математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, она
является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной
компонентой развития личности.
Математика встречается и используется в повседневной жизни, следовательно, определенные
математические навыки нужны каждому человеку.
В 9 классе мы начинаем изучать арифметическую прогрессию: дадим определение, научимся находить по
формулам любой член прогрессии,
Найдя ответы на вопросы: имеет ли это, какое - либо практическое значение и как давно люди знают
последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что
математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра
является частью общечеловеческой культуры.
Объектом исследования: арифметическая прогрессии.
Предмет исследования: практическое применение прогрессий.
Гипотеза исследования: если математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд
человека, то и прогрессии имеют определенное практическое значение.
Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их
применения.
Задачи исследования:
Выяснить:
когда и в связи, с какими потребностями человека появилось
понятие последовательности, в частности - прогрессии;
какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических
Автор:
Марков Альберт
9. Теория Рамсея и арифметические прогрессии
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разность
между соседними членами остается постоянной. Например, 7, 10, 13, 16 — это
арифметическая прогрессия, в которой разность между соседними членами равна
трем.
Из теории Рамсея следует такое утверждение об арифметических прогрессиях: если
каждое число от 1 до 9 покрасить в красный или синий цвет, то либо три синих числа,
либо три красных образуют арифметическую прогрессию.
Чтобы доказать это утверждение, мы могли бы проверить все 512 способов раскраски
девяти чисел. Но мы можем доказать его, рассмотрев только два случая. Начнем со
случая, в котором 4 и 6 имеют одинаковый цвет, скажем синий.
Чтобы избежать синей арифметической прогрессии 4, 5, 6. мы покрасим 5 в красный
цвет.
Чтобы избежать синих арифметических прогрессий 2,4,6 и 4,6,8, мы покрасим 2 и 8 в
красный цвет.
10. Теория Рамсея и арифметические прогрессии
Но тогда у нас получится красная арифметическая прогрессия 2,5, 8. Итак, если
4 и 6 имеют одинаковый цвет, то всегда получится либо красная, либо синяя
арифметическая прогрессия. Теперь рассмотрим случай, когда 4 и 6 имеют
различный цвет. Число 5 можно покрасить как угодно, не создав при этом
арифметической прогрессии, так что мы произвольно покрасим 5 в красный
цвет.
Продолжим раскрашивание следующим образом:
Тогда получим последовательность:
Но в ней все равно осталась красная арифметическая прогрессия 1,5,9. Таким
образом, независимо от того, в одинаковый или в разные цвета окрашены 4 и 6,
всегда имеется либо синяя, либо красная арифметическая прогрессия.
Аннотация к презентации
"Загадки арифметической прогрессии ": лучшая презентация на эту тему находится здесь! Средняя оценка: 3.6 балла из 5. Вам понравилось? Оцените материал! Загружена в 2017 году.
Формат pptx (powerpoint) Количество слайдов Слова Конспект Отсутствует17. Вывод
• И так что мы узнали? Историю происхождения
Арифметической прогрессии ,формулы и их
применение ,теоремы , и как участвует
Арифметическая прогрессия в нашей жизни.
14. ТЕОРЕМА
• Теорема: Числовая последовательность является
арифметической тогда и только тогда, когда каждый
ее член, кроме первого (и последнего – в случае
конечной последовательности), равен среднему
арифметическому предшествующего и
последующего членов.
Определение. Числовую последовательность, все члены которой отличны от
нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из
предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют
7. Гаусс Карл Фридрих (30.04.1777 - 23.02.1855)
Гаусс Карл Фридрих (30.04.1777 23.02.1855)
• Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец —
садовником, каменщиком, смотрителем каналов в
герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте
мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел
читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца.
Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы
занять детей на долгое время, предложил им сосчитать
сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что
попарные суммы с противоположных концов одинаковы:
1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил
результат 50×101=5050.
• До самой старости он привык большую часть вычислений производить в
уме. Свободно владея множеством языков, Гаусс некоторое время
колебался в выборе между филологией и математикой, но предпочёл
последнюю. Ему принадлежат формулировка и доказательства множества
свойств и теорем математики. Он очень любил латинский язык и
значительную часть своих трудов написал на латыни; любил английскую,
французскую и русскую литературу. В возрасте 62 года Гаусс начал изучать
русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского, и вполне
преуспел в этом деле. Современники вспоминают Гаусса как
жизнерадостного, дружелюбного человека, с отличным чувством юмора…
Содержание
Введение
Математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности. Математика встречается и используется в повседневной жизни, следовательно, определенные математические навыки нужны каждому человеку. В 9 классе мы начинаем изучать арифметическую прогрессию: дали определение, научимся находить по формулам любой член прогрессии, Найдя ответы на вопросы: имеет ли это, какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры. Объектом исследования:арифметическая прогрессии. Предмет исследования:практическое применение прогрессий. Гипотеза исследования: если математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, то и прогрессии имеют определенное практическое значение. Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения. Задачи исследования: Выяснить: когда и в связи, с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии; какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических
Загадки арифметической прогрессии
План История(параллельно примеры) Что это такое? Формулы Теорема(определение) Арифметические прогрессии в нашей жизни
история
Древний Египет
Древний Египет, страна великих достижений человеческой мысли, великих астрономов и математиков. Древний Египет, страна великих достижений человеческой мысли, великих астрономов и математиков. Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это папирус писца XVIII–XVII веков до нашей эры Ахмеса. Он имеет размер 5,25 м на 33 см, содержит 84 задачи.
Задачка из древнего Египтазадача из папируса Ахмеса
Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между каждым человеком и следующим за ним составляет 1/8 меры» Если камушки (или другие предметы) разложить рядами в форме треугольника так, что в первом ряду положить 1 камень, во втором – 2 и т.д., то их количество называли «треугольным числом». Таким образом, треугольные числа образуют такую последовательность: 1, 2, 3, 4, …, а сумма этих камушков образует треугольное число. Треугольное число - это и есть сумма n-первых членов арифметической прогрессии.
Вавилония
В Вавилонском царстве всеми расчетами занимались писцы, которые принадлежали к высшему сословию. Школа, где обучались писцы, называлась «дом табличек». Для таких школ предназначались специальные математические таблички. Тексты на них можно было разделить на два класса: В Вавилонском царстве всеми расчетами занимались писцы, которые принадлежали к высшему сословию. Школа, где обучались писцы, называлась «дом табличек». Для таких школ предназначались специальные математические таблички. Тексты на них можно было разделить на два класса: Таблицы и задачники
Примеры из Вавилонии
Какие задачи решали в Вавилоне? Среди задач на табличках встречаются задачи на арифметические и геометрические прогрессии. Вавилонские писцы знали правила суммирования n членов арифметической прогрессии: Примеры арифметических и геометрических прогрессий 1;2;3;4….. - натуральные числа 2;4;6;8;…. - четные числа 2;4;8;16;…. – геометрическая прогрессия
Предание о шахматах
Предание о шахматах Рассказывают что индийский принц Сирам засмеялся, услышав какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и так до 64-го поля. Нетрудно сосчитать, используя вам формулу суммы n членов геометрической прогрессии, что Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, то только за 5 лет смог бы рассчитаться с просителем.
Архимед
Архимед Одним из древних ученый занимавшимися прогрессиями был Архимед. Он первым обратил внимание на связь между прогрессиями. Название прогрессии следовало из его перевода с греческого – «прогрессио – движение вперед»
Что это такое?
Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путем прибавления или вычитания некоего постоянного числа. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией. Если разность между последующим и предыдущим членами последовательности есть одно и то же число, то это арифметическая прогрессия. Разумеется, при этом предполагается, что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности, но и для всей последовательности в целом. Арифметическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов
Формулы
Очевидно, что арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если , и убывающей, если . Формулаn-члена арифметической прогрессии. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии выполняется равенство Каждый член арифметической прогрессии, кроме первого (и последнего – в случае конечной прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Верно и обратное: если последовательность выполняется равенство -то - арифметическая прогрессия
ТЕОРЕМА
Теорема: Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов. Определение. Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют
Арифметические прогрессии в нашей жизни
Первые задачи, дошедшие да нас на прогрессии, были связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практикой. Так и в наше время формулы арифметической и геометрической прогрессии используются при подсчёте данных в программировании, экономике, химии, литературе, физике, биологии, геометрии, экономике, статистике, а также и в повседневной жизни. Рассмотрим примеры применения более подробно:
Примеры
Химия: при повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химической реакций растёт по геометрической прогрессии. При повышении температуры от +20 до + 60 градусов, скорость реакции увеличивается в 150 раз Литература: даже в литературе мы встречаемся с математикой. Так, вспомним строки из «Евгения Онегина»геометрическая прогрессия; …Не мог он ямба от хорея, Как мы не бились отличить… Ямб – это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2, 4, 6, 8… . Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2. «Мой дЯдясАмыхчЕстныхпрАвил…» (А.С.Пушкин) Прогрессия 2, 4, 6, 8…
Вывод
И так что мы узнали? Историю происхождения Арифметической прогрессии ,формулы и их применение ,теоремы , и как участвует Арифметическая прогрессия в нашей жизни.
Следующая загадка
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.
Добавить свой комментарий6. Числа Фибоначчи
• Древняя история богата выдающимися математиками. А
вот из математиков средневековья в школьном курсе
названо только одно имя – Виета. Тем больший интерес
представляют для нас итальянский математик Леонардо из
Пизы по прозвищу Фибоначчи. Известен он решением
нескольких задач. Вот одна из них:
• Сколько пар кроликов в год от одной пары рождается?
Кролики рождаются начиная со второго месяца, каждый
месяц по паре. 1 пара 1 пара 2 пары 3 пары 5 пар 8 пар …
1 месяц 2 месяц 3 месяц …
• Эта последовательность называется «числа Фибоначчи».
Числа Фибоначчи встречаются в математике и в природе
довольно часто: треугольник Паскаля, семена в
подсолнечнике, рост деревьев.
7. Вавилония
В Вавилонском царстве всеми
расчетами занимались писцы,
которые принадлежали к высшему
сословию. Школа, где обучались
писцы, называлась «дом табличек».
Для таких школ предназначались
специальные математические
таблички. Тексты на них можно было
разделить на два класса: В
Вавилонском царстве всеми
расчетами занимались писцы,
которые принадлежали к высшему
сословию. Школа, где обучались
писцы, называлась «дом табличек».
Для таких школ предназначались
специальные математические
таблички. Тексты на них можно было
разделить на два класса: Таблицы и
задачники
11. Что это такое?
Аннотация к презентации
Формат pptx (powerpoint) Количество слайдов Слова Конспект Отсутствует12. Финансовая математика
В финансовой математике для решения различных задач главным
математическим
аппаратом
является
понятие
«процентов»
и
арифметической и геометрической прогрессии.
Изучение метрологии, стандартизации, квалиметрии, являющихся
завершением цикла общетехнических курсов теорий машин и механизмов,
технологии материалов, сопротивление материалов, деталей машин и
основан на обеспечении точности геометрических параметров.
11. Применение арифметических прогрессий
• Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с
запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление
наследства и др. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были
известны китайским и индийским ученым.
• Ариабхатта (V в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической
прогрессии. Но правило для нахождения суммы членов произвольной
арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака»
в 1202 г. (Леонардо Пизанский)
13. Формулы
n (a1n )
выполняется
равенство
n 1
выполняется равенство
Очевидно, что арифметическая прогрессия является
возрастающей последовательностью, если , и убывающей, если .
Формула n-члена арифметической прогрессии.
Формула суммы первых n членов
арифметической прогрессии
Каждый член арифметической прогрессии, кроме первого (и последнего – в случае конечной
прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.
Верно и обратное: если последовательность
-то - (an ) арифметическая прогрессия
Содержание
Прогрессии вокруг нас Авторы:Старкина Елена, Соломенникова Инна, МОУ «Баткатская СОШ», 9 класс Руководитель работы: Кулеш Ирина Николаевна, учитель математики Шегарский район, Томской области, Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Баткатская средняя общеобразовательная школа» Исследовательская работа
Закончился 20 -ый век. Куда стремится человек? Изучены космос и море, Строенье звёзд и вся Земля, Но математиков зовёт Известный лозунг: "Прогрессио - движение вперёд!"
Прогрессио –движение вперед!
Аннотация проекта В своём исследовании мы хотим ответить на вопрос: действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни? Для этого: сравнили определения, характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий; провели анализ исторического экскурса для установления авторства теории о прогрессиях; привели примеры применения прогрессий в различных отраслях хозяйств; рассмотрели влияние размножения живых организмов в геометрической прогрессии жизни на Земле. Актуальность исследования (Почему это важно для нас?): В 9 классе мы изучаем прогрессии: давали определения, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии. Захотели найти ответы на вопросы: имеет ли это какое - либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие. Мы подтвердим или опровергнем утверждение того, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.
Проблемный вопрос:Действительно ли прогрессии играютбольшую роль в повседневной жизни?Объект исследования:последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии.Предмет исследования:практическое применение этих прогрессийГипотеза исследования:На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.Цель исследования:установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.
Формулы Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия
Информационная модель (схема) сравнения арифметической и геометрической прогрессий
Установите «родство» прогрессий a1, a2, a3, . . . an+1=an+d bn+1=bn ·q an=а1+d(n-1) bn = b1qn-1 d = an -а1 q =bn+1:bn характеристические свойства
Немного истории В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко 2 тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны и индийским учёным.
Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в «Книге абака» (1202г.) Леонардо Фибоначчи. А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», увидевшей свет в 1484 году. Наука о числах Немного истории
Царь древней Индии Шерам пригласил к себе изобретателя шахмат Сета и спросил, какую бы награду хотел бы он получить за изобретение столь мудрой игры. Тогда Сета попросил царя на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4, на четвертую – 8 и т.д., т.е. на каждую клетку вдвое больше зерна, чем на предыдущую клетку. Поначалу царь удивился столь “скромному” запросу изобретателя и поспешно повелел выполнить ту просьбу. Однако, как выяснилось, казна царя оказалось слишком “ничтожной” для выполнения этой просьбы. Древняя индийская легенда
Столько зёрен должен был получить изобретатель шахмат: S64=264-1= =18446744073704551615
ИНФУЗОРИИ…
Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения? Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии b15 = 2·214 =32 768
Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов. бактерии…
Интенсивность размножения бактерий используют…
в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.) в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.) в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин) в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод,ликвидации нефтяных пятен)
“Потомство пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев”. Карл Линней Девятое поколение одной пары мух наполнило бы куб, сторона которого равна 140 км, или же составило бы нить, которой можно опоясать земной шар 40 млрд. раз. мухи…
“Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара”. К. А. Тимирязев одуванчик…
Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев, дна единственная тля может оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр.
ВОРОБЬИ
Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.
В каких процессах ещё встречаются такие закономерности?
Деление ядер урана происходит с помощью нейронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. — это геометрическая прогрессия. При повышении температуры в арифметической прогрессии скорость химической реакции вырастает в геометрической прогрессии. Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.
Вписанные друг в друга правильные треугольники — это геометрическая прогрессия. Денежные вклады под проценты — это пример геометрической последовательности. Зная формулы суммы членов геометрической последовательности, можно подсчитывать сумму на вкладе. Равноускоренное движение — арифметическая прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.
О поселковых слухах:
Удивительно, как быстро разбегаются по посёлку слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого– нибудь происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела весь посёлок: все о ней знают, все слышали. Итак, задача: В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка?
Выводы: Сделав анализ задач на прогрессии спрактическим содержанием мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях. Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями. Установили, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими. Выяснили, что в развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, французский математик Леонард Фибоначчи. Нашли много задач на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметили, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической. Обнаружили, что интенсивное размножение бактерий в геометрической прогрессии широко применяется в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине, в сельском и коммунальном хозяйствах, в банковских расчетах. Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях. Следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.
16. Примеры
• Химия: при повышении температуры по арифметической
прогрессии скорость химической реакций растёт по
геометрической прогрессии. При повышении температуры от
+20 до + 60 градусов, скорость реакции увеличивается в 150 раз
• Литература: даже в литературе мы встречаемся с математикой.
Так, вспомним строки из «Евгения Онегина»
• …Не мог он ямба от хорея,
• Как мы не бились отличить…
• Ямб – это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2,
• 4, 6, 8… . Номера ударных слогов образуют арифметическую
прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.
• «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…» (А.С.Пушкин)
• Прогрессия 2, 4, 6, 8…
Следующая загадка
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.
Добавить свой комментарий13. Метрология, стандартизация, сертификация
Ряды предпочтительных чисел должны отвечать следующим требованиям: быть
бесконечными как в сторону малых, так и в сторону больших размеров, включать
единицу и все десятикратные значения любого члена, быть простыми и легко
запоминаемыми.
В начальный период стандартизации получили распространения ряды, выраженные
арифметическими прогрессиями, но существенным недостатком арифметической
прогрессии является ее относительная неравномерность. При постоянной абсолютной
разности относительная разность между членами арифметического ряда 1, 2, 3,…10
для чисел 1 и 2 составляет 200%, а для чисел 9 и 10 всего 11%.
В связи с этим позднее стали применять ступенчато - арифметические ряды,
например, ряды стандартных резьб:
1 - 1,1 - 1,2 - 1,4 - 1,6 - 1,8 - 2,0 - 2,2 - 2,5 - 3,0 - 3,5 - 4,0 - 4,5 - … - 145 - 150 - 155 - 160
- 165 - .
у которых разности возрастают с увеличением абсолютного размера и соответственно
равны 0,1; 0,2; 0,5; 5.
Тем не менее применение арифметической прогрессии в большинстве случаев не
целесообразно и поэтому находят ограниченное распространение.
4. ДРЕВНЕЙШАЯ ПРОГРЕССИЯ
Древнейшая задача на прогрессии – не вопрос о вознаграждении изобретателя
шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более
старая задача о делении хлеба, которая записана в египетском папирусе Ринда,
который назван в честь человека, нашедшего его в конце 19 века. Этот папирус
составлен около двух тысяч лет до нашей эры. На нем записано очень много
различных задач. Одна из них такая:
« 100 мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй
получил на столько же больше первого, на сколько третий получил
больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше
четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше
трех остальных. Сколько мер нужно дать каждому?»
Решение.
Количества хлеба, полученные людьми, составляют возрастающую
арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член равен Х, а разность d равна У.
тогда
х
х+у
х+2у
х+3у
х+4у.
Получаем уравнение х+( х+у) +( х+2у) + ( х+3у) + ( х+4у) = 100.
Так как двое первых получили в 7 раз меньше, чем остальные трое, то получим
уравнение
7( х+ х+у) = ( х+2у) + ( х+3у) + ( х+4у).
Запишем систему и решим ее.
Х+2у=20,
11х=2у.
значит, хлеб разделен следующим образом
6. Задача из папируса Ринда
• Сто мер хлеба разделили между 5 людьми
так, чтобы второй получил на столько же
больше первого, на сколько третий получил
больше второго, четвертый больше
третьего и пятый больше четвертого. Кроме
того, двое первых получили в 7 раз меньше
трех остальных. Сколько нужно дать
каждому?
15. Арифметические прогрессии в нашей жизни
• Первые задачи, дошедшие до нас на
прогрессии, были связаны с запросами
хозяйственной жизни и общественной
практикой. Так и в наше время формулы
арифметической используются при подсчёте
данных в программировании, экономике,
химии, литературе, физике, биологии,
геометрии, экономике, статистике, а также и в
повседневной жизни. Рассмотрим примеры
применения более подробно:
3. История арифметических прогрессий
• Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям были известны китайским и
индийским ученым.
• Слово «прогрессия» (лат. Progressio) означает «движение вперед» (как слово
«прогресс»), встречается впервые у римского автора Гроэция. Первоначально
под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, например,
последовательность натуральных чисел, их квадратов, кубов. В конце средних
веков и в начале нового времени этот термин перестал быть
общеупотребительным.
• В XVII веке, например, Джон Грегорн употребил вместо прогрессии термин
«ряд», другой английский математик Джон
Валлис применил для
бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».
• В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи
числовых последовательностей.
9. Архимед
• Архимед Одним из древних
ученый занимавшимися
прогрессиями был Архимед.
Он первым обратил внимание
на связь между прогрессиями.
Название прогрессии
следовало из его перевода с
греческого – «прогрессио –
движение вперед»
4. Древний Египет
Древний Египет, страна великих
достижений человеческой
мысли, великих астрономов и
математиков.
Древний Египет, страна великих
достижений человеческой
мысли, великих астрономов и
математиков.
Самый большой,
сохранившийся до наших дней,
древнеегипетский
математический текст – это
папирус писца XVIII–XVII веков
до нашей эры Ахмеса. Он имеет
размер 5,25 м на 33 см,
содержит 84 задачи.
Читайте также: