Загадка с тремя квадратами и линией
Обновлено: 24.12.2024
С давних пор известны и пользуются популярностью головоломки, которые можно объединить под общим названием «одним росчерком». В таких задачах предлагается начертить какую-либо фигуру одним росчерком (одной линией), не отрывая карандаша от бумаги, и не проводя дважды по одной линии. Классическими примерами являются задачи, в которых одним росчерком нужно нарисовать разные варианты конверта или квадрат с диагоналями и четырьмя дугами:
Нарисуйте фигуры одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, и не проводя по одной линии дважды Нарисуйте фигуры одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, и не проводя по одной линии дваждыВариантом задачи является поиск пути по дорогам или мостам, который будет проходить по всем дорогам (мостам) ровно по одному разу. Классическим примером является задача о семи кёнигсбергских мостах, которая опубликована на этой неделе под номером 5.
Также известна старая задача о доме из пяти комнат, каждая из которых соединена с другой и с улицей дверьми. Необходимо найти такой путь по комнатам, который проходил бы по всем 16 дверям ровно по одному разу (начинать и заканчивать можно в любой комнате или вне дома):
Соедините все 16 дверей одной линией, не пересекая ни одну из дверей дважды Соедините все 16 дверей одной линией, не пересекая ни одну из дверей дваждыНезависимо от условий задачи (начертить фигуру одной линией или найти непрерывный путь), ее решением является граф – математический объект, объединяющий в себе множество вершин и ребер. Причем как само понятие графа, так и раздел математики, изучающий данные объекты (он назван теорией графов), родились как раз из решения такой задачи. А именно – из решения задачи о семи кёнигсбергских мостах, которой в 1736 году занялся великий математик Леонард Эйлер. Правда, само понятие «граф» было предложено в 1878 году английским математиком Джеймсом Джозефом Сильвестром. Однако «отцом» теории графов по праву считается Эйлер, и здесь мы проследим за некоторыми его рассуждениями.
Правила Эйлера
При анализе задачи о мостах Кёнигсберга Эйлер преобразует карту города в упрощенную схему, в которой четыре части города превращаются в вершины, а мосты – в ребра, соединяющие эти вершины. Процесс преобразования можно проиллюстрировать картинкой:
Карте Кёнигсберга преобразуется в граф с четырьмя вершинами Карте Кёнигсберга преобразуется в граф с четырьмя вершинамиВот так Эйлер получил граф – абстрактный математический объект, состоящий из вершин, попарно соединенных ребрами. Вершины обозначены здесь красными точками, а ребра – черными линиями. А что за цифры стоят у вершин? О, это – как раз то, что и помогает решать любые (повторяю – любые) задачи о рисовании фигур одним росчерком! Это – обозначение четности/нечетности вершины, которое указывает на число ребер, которое выходит из данной вершины. Если из вершины выходит четное число ребер – значит она четная, а если нечетное – она нечетная. Все очень просто.
В ходе работы над задачей Эйлер вывел несколько заключений, в которых ключевую роль играет четность/нечетность вершин. Мы приведем здесь только те заключения, которые потребуются для решения головоломок:
- Если все вершины графа четные, то его можно начертить одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги. При этом можно начинать с любой вершины графа, а завершаться он будет в этой же точке;
- Если ровно две вершины графа нечетные, то его можно начертит одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги. При этом начать следует с одной из нечетных вершин, а завершать – во второй нечетной вершине;
- Если в графе три и больше нечетных вершин, то его невозможно начертить одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, и не проводя по одному ребру дважды.
Итак, вновь посмотрим на граф задачи мостов Кёнигсберга: здесь четыре вершины, и все они нечетные. Значит, задача не имеет решения – пройти по всем семи мостам, посетив каждый из них ровно по одному разу, невозможно. Задача становится разрешимой только при добавлении одного моста (что в 1905 году и было сделано в реальности). Это можно сделать подобным образом (дополнительный мост указан пунктирной линией):
При добавлении одного моста задача о мостах Кёнигсберга имеет решение При добавлении одного моста задача о мостах Кёнигсберга имеет решениеКак видите, в этом графе ровно две нечетных вершины, значит его можно начертить одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, и не проводя по одной линии дважды. Но для этого следует начать в одной из нечетных вершин, и закончить в другой.
Анализ и решение задач
Теперь проанализируем фигуры, приведенные в начале статьи – конверты и квадрат с дугами:
Подведем итог.
1) Чтобы сразу понять можно ли нарисовать фигуру по правилам, посчитайте, сколько в ней нечетных точек (точек с пересечение нечетного количества линий). Если больше 2, то нарисовать - невозможно.
2) Если в фигуре 2 нечетные точки, то начинать нужно с любой из них. Линия в результате всегда придет во вторую нечетную точку.
3) Если в фигуре нет нечетных точек, то начать можно откуда угодно, даже не с пересечения, и в результате линия всегда будет приходить в начальную точку.
P.S. Простите, если что-то не так в моем посте, он у меня первый. Уж очень захотелось поделиться наблюдениями. Спасибо за внимание!
Метки: Игра в линии Не отрывая руки игры на бумаге.
Что нужно делать?
Задача простая надо соединить 9 точек 4 линиями, не отрывая руки от экрана. Сами точки вы можете найти на изображении ниже
Следующая загадка
Поэтому сегодня я предлагаю вам достаточно необычный тест на смекалку! Мне его показал дядя, когда я был совсем маленький. И скажу вам честно - тест до сих пор заставляет меня вспоминать его слова, которые он сказал мне спустя два часа после моих раздумий. В конце статьи я поделюсь этой мудростью, а пока давайте вернемся к тесту.
Следующая загадка
В классе 9-ом вроде в самом начале 2000-ых , учитель по физике дал нам решать эту головоломку на весь урок. По его словам, её смог решить только один ученик в его практике, который был внесён в его личную красную книгу мегабайтов топовых учеников. Как вы уже понимаете, у нас с этой задачей тоже не справились. Частенько делал вброс на разных посиделках, но и там все чесали голову, а боль нерешённой задачи меня не покидает по сей день. Так вот, вам нужно провести змейку так, чтоб она пересекла все линии на рисунке. Змейку вы можете начать и закончить где угодно,всего нужно пересечь 16 линий. Я их пронумеровал чтоб было удобней указывать на ошибку..
Запрещается:
1. Проходить одну линию дважды.
2. Пускать змейку вдоль линий, нужно только пересекать.
3. Змейка не может пересекать саму себя.
4. Змейка должна быть цельной и не может состоять из двух и более частей.
5. Нельзя пересекать углы, тем самым засчитывая проход сразу двух линий.
Ну и два примера для наглядности по самым распространённым ошибкам.
Одна линия осталась не пройденной.
Линия была пересечена дважды.
"Развернутый конверт"
В данном случае я выяснил, что можно начинать откуда угодно. При этом начало и конец всегда в одной точке.
В результате я понял, что чтобы было решение - нечетных точек должно быть либо только 2, либо ни одной. Но почему?
Дело в том, что если в точке пересекается четное количество линий, значит ручка будет заходить и выходить в нее одинаковое количество раз. А если в пересечении - нечетное количество, значит входить или выходить из него ручка будет на один раз больше. И соответственно одна линия не может начинаться и заканчиваться несколько раз. Поэтому:
1) В "Закрытом конверте" 4 нечетные точки, и линия должна 2 раза начинаться и 2 раза заканчиваться. И поэтому невозможно по правилам нарисовать.
2) В "Открытом конверте" 2 нечетные точки, значит в одной нечетной точке она должна начинаться, а в другой - заканчиваться.
3) В "Раскрытом конверте" нечетных точек - нет, значит линия начинаться может в любой точке, но чтобы она была "четной", в ней линия должна и закончиться.
Следующая загадка
Из ранее обнаруженного можно сделать вывод, что в данном случае можно начать с любого угла, т.к. они все нечетные точки. Но как ни старайся остается хотя бы одна линия. Так в чем же проблема? Может их слишком много? А что будет, если нечетных точек не будет вовсе?
Читайте также: