Загадка с площадью квадрата
Обновлено: 25.12.2024
В наших школьных учебниках таких задач не встретишь. Зато такие задачи встречаются под звездочками, на олимпиадах. Подобная задача была в каком-то американском сборнике тестов. Не знаю для кого предназначался этот тест, потому что не видел обложку. Поэтому мне сложно оценить уровень американских школьников (или студентов?), но российские школьники задачку решили. Хотя не все.
Попробуйте решить и вы. Надо найти площадь большого красного треугольника, в который вписаны три квадрата с известными площадями.
Площадь черных квадратов известна: 4, 36 и 9. Надо найти площадь красного треугольника. Площадь черных квадратов известна: 4, 36 и 9. Надо найти площадь красного треугольника.Следующая загадка
Такие головоломки популярны в Японии. Придумал и популяризировал их Наоки Инаба (Naoki Inaba), любитель логических задачек, чьи работы часто публикуются в различных журналах.
В этом задании вам нужно использовать только логическое мышление, знание формулы площади прямоугольника и, возможно, лист с карандашом/ручкой, чтобы найти площадь прямоугольника.
Следующая загадка
Несмотря на то, что для многих эта головоломка кажется какой-то интуитивно понятной, если подходить к доказательству строго, оно будет весьма и весьма непростое и не за 2 секунды.
Пока что предлагаю подумать самостоятельно. Перед вами квадрат, который разделен на четыре четырехугольника. Площадь трех из них известна, а площадь четвертого надо найти. Площадь квадрата неизвестна, зато известно, что стороны квадрата делятся пополам сторонами других четырехугольников. Короче — на рисунке всё есть.
Надо найти площадь четвертого четырехугольника. Надо найти площадь четвертого четырехугольника.Что скажете? Как решать? Наверное, самое популярное предположение, что неизвестная площадь равна 28. Но как к этому прийти? Можно использовать утверждение, что если стороны квадрата разделены пополам, то справедливо соотношение S1+S3=S2+S4. То есть сумма двух диагонально расположенных фигур равна сумме площадей двух других фигур.
В нашем случае искомая площадь S=16+32-20=28. Вроде бы ответ правильный. Но есть один нюанс. Мы не доказывали утверждение, на которое опирались. А надо бы. Я не буду этого делать, но вы попробуйте для начала перенести общую для всех четырехугольников точку в центр квадрата. Получите четыре одинаковых квадрата со сторонами в половину стороны большого квадрата. Для этого случая утверждение очевидно. А потом двигайте точку и доказывайте утверждение для произвольного расположения точки и неправильных четырехугольников.
Я же расскажу способ решения, который мне понравился своим изяществом. Тут нет необходимости что-либо доказывать. Просто пользуемся формулами и знаниями седьмого класса. Это, должно быть, не самый быстрый способ, зато простой. Если у вас есть более оригинальные идеи, welcome в комменты.
Разделим каждый четырехугольник диагональю на две части. И рассмотрим два треугольника (заштрихованы оранжевым и фиолетовым), площади которых равны, так как у них одинаковая высота (h — выделена салатовым), а основания равны как половины стороны большого квадрата. Обозначим площади этих треугольников за X.
Следующая загадка
Олег Погребняк
Ооооо
Нравится Показать список оценивших
Андрей Плесовских
Нравится Показать список оценивших
Orochimaru Sama
Нравится Показать список оценивших
Нравится Показать список оценивших
Нравится Показать список оценивших
1. Сначала находим значение стороны каждого из трёх квадратов справа (это первый катет)
2. Отнимаем от значения стороны 2го треугольника значение стороны 1го треугольника и делим на два - это второй катет. Ищем гипотенузу 1го треугольника
3. Затем отнимаем от значения стороны 3го квадрата значение стороны 2го квадрата и получаем второй катет 2го треугольника. Находим гипотенузу 2го треугольника.
4. Далее делаем пропорцию, поскольку все три треугольника равны пропорционально, и имея на руках один из катетов и гипотенузу 2го треугольника, находим гипотенузу 3го треугольника.
5. Сума трех гипотенуз - это сторона большого квадрата. Возводим суму к квадрату и получаем его обьем
Нравится Показать список оценивших
Иван, касательно 2 пункта: с чего ты взял, что отрезки слева и справа от верхнего квадрата равны?
Нравится Показать список оценивших
Иван Щитовский ответил Александру
Александр, визуально)
Но в принципе, пропорцию можно применить и к 1му треугольнику
Нравится Показать список оценивших
Хотя есть ощущение что я что-то сделал неверно, поскольку не использовал значение квадрата слева
Нравится Показать список оценивших
Ответ 108 )) Задача понравилась - интересная ) Только описывать решение долго. Здесь неплохо играет и подбор цифр корни из них при умножении будут давать целые числа )
Нравится Показать список оценивших
А это точно все квадраты?
Нравится Показать список оценивших
Максим Машнин
Формула пика, ИЗИ
Нравится Показать список оценивших
Нравится Показать список оценивших
135, если справа все квадраты
Нравится Показать список оценивших
Katya Nosenko
135, эта задачка весной на квизе была
Нравится Показать список оценивших
Артём Голованский
Нравится Показать список оценивших
135. Все делим на 3, получаются приличные корни.. тангенс равен 2, длина квадрата корень из 45. Помножили, потом обратно в 3 раза увеличили.
Нравится Показать список оценивших
Ответ: 135 (при условии того, что на изображении все фигуры – квадраты)
Пояснение:
–сторона квадрата равна корню квадратному из его площади;
–так находим стороны каждого квадрата справа ( корень из 3, 2 корень из 3 и 3 корень из 3 соответственно);
–Найдём гипотенузу среднего треугольника по теореме Пифагора (один катет равен 2 корень из 3, другой (нижний) 3 корень из 3 минус 2 корень из 3) она равна корню из 15;
– все эти треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними, а это значит, что можно найти каждую гипотенузу (маленького первого треугольника гипотенуза равна 1/2 корень из 15, большого — 3/2 корень из 15);
– вычислим сумму всех гипотенуз, чтобы найти сторону искомого квадрата (3 корень из 15);
–вычислим площадь искомого квадрата: (3 корень из 15)^2=9*15=135
Ответ: 135
Решение
Сначала делаем самое очевидное — находим стороны квадратов: 2, 6 и 3 соответственно. Теперь смотрим на средний правый треугольничек, образованный сторонами большого и среднего квадратов, и на нижний правый. Я обвел их розовых и зеленым (правда, зеленый не очень похож на зеленый).
Эти два маленьких треугольничка подобны по двум углам. И мало того, что они подобны, они ещё равны и равнобедренны. Длина равных бедер равна 3. Почему? Смотрите на рисунке выше, там все довольно подробно и четко нарисовано. Из всего этого мы делаем вывод, что правый нижний отрезок большого треугольника (от квадрата со стороной 3 до угла) равен трём.
Теперь перемещаемся к аналогичным треугольникам слева. Смотри рисунок ниже. Средний и нижний треугольники снова подобны. Но уже НЕ равны и НЕ равнобедренны. Коэффициент подобия этих треугольников k=2, а катеты соотносятся как 1:2. На рисунке ниже снова всё хорошо видно, поэтому не буду дополнительно пояснять, как мы получили, что левый отрезок (от угла до квадрата со стороной 2) равен единице.
Читайте также: