Загадка с фальшивой монетой

Обновлено: 04.11.2024

За критику налоговой системы император заточил в темницу величайшего математика страны. Но однажды пленнику представился шанс вновь обрести свободу. Один из 12 наместников императора уплатил налог фальшивой монетой, которая уже попала в казну. Император пообещал освободить математика, если тот сумеет найти подделку.

Кадр: TED‑Ed/YouTube

Перед пленником поставили стол, на котором были чашечные весы, карандаш и 12 одинаковых на вид монет. А потом сказали, что фальшивка отличается от остальных денег по весу в большую или меньшую сторону. Взвесить монеты разрешили лишь трижды. Как математику вычислить подделку?

У математика всего три попытки, поэтому взвешивать каждую монету по отдельности нельзя. Нужно разделить их на кучки и класть на весы по несколько штук за раз, постепенно подбираясь к фальшивой.

Допустим, математик решил разделить 12 монет на три кучки по четыре монеты в каждой. Потом он положил на каждую чашу весов по четыре монеты. Такое взвешивание может дать два результата. Рассмотрим каждый из них.

1. Вес двух кучек с монетами оказался одинаковым. Следовательно, все деньги в них настоящие, а подделка лежит где‑то среди четырёх невзвешенных монет.

Чтобы отслеживать результат, математик помечает ноликом все подлинники. Потом берёт три из них и сравнивает с тремя невзвешенными монетами. Если их вес равен, то оставшаяся (четвёртая) невзвешенная монета фальшивая. Если вес отличается, то математик ставит на трёх непомеченных монетах плюс, если они тяжелее тех, что с ноликами, или минус, если они легче.

Потом он берёт две монеты, помеченные плюсом или минусом, и сравнивает их вес. Если он одинаковый, то оставшийся экземпляр — подделка. Если нет, математик смотрит на знаки: среди монет с плюсом фальшивой будет та, что тяжелее, среди монет с минусом — та, что легче.

2. Вес двух кучек с монетами оказался неодинаковым.

В этом случае математику нужно действовать так: пометить деньги в тяжёлой кучке плюсом, в лёгкой — минусом, в невзвешенной — ноликом, так как известно, что фальшивый экземпляр был на весах.

Теперь нужно перегруппировать монеты, чтобы уложиться в два оставшихся взвешивания. Один из способов — взять вместо трёх монет с плюсом три монеты с минусом, а на их место положить три штуки с ноликом.

Далее следует три возможных варианта. Если та чаша весов, которая была тяжелее, всё ещё перевешивает, значит, либо старая монета со знаком плюс на ней тяжелее остальных, либо оставшаяся на другой чаше весов монета со знаком минус — легче. Математику нужно выбрать любую из них и сравнить с обычным образцом, чтобы найти фальшивку.

Если же та чаша весов, которая была тяжелее, стала легче, значит, одна из трёх перемещённых математиком монет со знаком минус и есть самая лёгкая. Теперь ему нужно сравнить на весах две из них. При равенстве результатов третья монета будет поддельной. При неравенстве — фальшивая та, что легче.

Если после замены чаши уравновесились, одна из трёх снятых с весов монет со знаком плюс тяжелее остальных. Математику нужно сравнить две из них. При их равенстве третья — поддельная. При неравенстве ненастоящая та, что тяжелее.

Император одобрительно кивает, выслушивая рассуждения математика, а нечестный наместник отправляется в темницу.

Следующая загадка

Задача не нова и хорошо пережевана во многих книгах ещё с советских времен. Кто-то наверняка вспомнит, что решал её ещё в 60-70-ых годах. Но от этого она не становится хуже или проще. Наоборот, раз она так долго рассказывается ученикам учителями, значит, хорошая, заставляет подумать.

Эту задачу любили раньше давать на собеседованиях в МГУ. Когда не было ЕГЭ, были внутренние экзамены, олимпиады, а потом собеседование. Там могли спросить что угодно: просто поболтать, проверить эрудицию в других областях, а не по специальности, спросить про родителей или дать какую-то несложную задачку на логику. Как правило, строго решения никто не требовал, достаточно было сказать идею и все всё и так понимали. Так что не думайте, что это сложная задача.

Имеется 10 мешков с большим количеством монет в каждом. В 9 мешках все монеты настоящие, а в одном — все фальшивые. Настоящая монета весит 10 граммов, а фальшивая — 9 граммов. В вашем распоряжении есть электронные весы с точностью до граммов, но воспользоваться ими можно всего один раз. Как определить мешок с фальшивками?

Как я уже сказал, ничего сложного в задаче нет. Но сначала лирическое отступление.

ЛитРес дарит мне, а я дарю вам промокод YELLOWDZEN. В течение двух дней после активации на весь каталог у вас будет действовать 25% скидка. А вообще промокод работает до 4 марта 2021 года. Пользуйтесь, покупайте в подарок книги на 23 февраля и 8 марта.

Ну а теперь решение. Пронумеруем мешки от одного до 10. Берем из первого мешка одну монету, из второго — две, из третьего — три и так далее. Всего у нас получится 55 монет. Если бы они все были настоящими, они бы весили 550 граммов. Но так как среди них есть фальшивые, общей вес будет меньше. Так вот на сколько граммов будет меньше вес, в том мешке и есть фальшивые монеты.

Обычно на словах "пронумеруем мешки и возьмем из каждого столько монет, какой у него порядковый номер. " абитуриента останавливали, всем становилось понятно, что он понял, как решать. А вы решили? Этим способом или нашли какой-то другой?

Следующая загадка


Перед нами логическая задача, чтобы решить которую нужно немного пораскинуть мозгами.

Итак условия задачи следующие:

На столе лежат 9 монет. Известно, что одна из монет фальшивая. Фальшивая монета весит меньше чем остальные. У нас имеются весы для взвешивания.

Вопрос:

Как при помощи двух взвешиваний найти фальшивую монету?


Внимание!

Ниже приведен правильный ответ!


Правильный ответ:

Вначале на каждую чашу весов нужно положить по три монеты.

Если после этого весы приходят в равновесие, значит среди этих монет нет фальшивой, берем две из трех оставшихся монет, кладем на разные чаши весов. Если фальшивая монета среди этих двух, то мы поймем на какой она чаше, эта чаша поднимется выше.

А если весы снова придут в равновесие, значит фальшивая монета осталась на столе.

Если же при первом взвешивании весы не пришли в состояние равновесия, значит фальшивая монета уже находится на весах, берем 2 монеты из тех трех, что оказались легче, кладем по 1 на каждую чашу, если одна чаша поднялась выше, значит фальшивая монета на ней, если чаши уравновесились, значит фальшивая - оставшаяся третья.

Следующая загадка

Имеет решение. Вот оно:
1 взвешивание: берём 3 монеты на одну чашку весов и 3 монеты на вторую (2 минуты осталось). Рассмотрим два варианта. Если чаши будут равны, то фальшивая монета находится в тех двух. Теперь важно выполнить второе вздрагивание верное. Нужно взвесить не остывшие монеты, а взять одну из 6 и одну из двух. Если опять одинаково, то вторая из двух фальшивая. Если не одинаково, то первая из двух фальшивая.
Теперь рассмотрим, что фальшивая попала в первом взвешивании. Та ваша, которая легче, там фальшивая монета. Значит второе взвешивание делаем из этой чаши две монеты, если равно, то третья фальшивая, если нет, то та, что легче и есть фальшивая.

Читайте также: