Загадка про пиратов и 100 монет
Обновлено: 22.11.2024
Вас завели в тёмную комнату, в которой на столе лежат 100 монет. Известно, что ровно 20 монет лежат решками вверх. Нужно разделить все монеты на столе на две кучки так, чтобы количество монет, лежащих решками вверх, в первой кучке и во второй кучке было одинаковым. Размер кучек значения не имеет. Разглядеть монеты в темноте нельзя, отличить на ощупь орла от решки тоже невозможно.
Решение
Нужно произвольным образом разделить монеты на две кучки из 20-ти и 80-ти монет, после чего перевернуть все монеты из первой (меньшей) кучки.
Пусть у нас есть Р монет, лежащих решками, и О монет, лежащих орлами. Разделим их на две кучки из Р монет и О монет случайным образом. Пусть в первой кучке оказалось X решек. Тогда в первой кучке имеем X решек и P-X орлов (всего в ней Р монет), а во второй P-X решек и O-(P-X) орлов (всего в ней O монет).
Если мы теперь перевернём все монеты из первой кучки, то в ней окажется P-X решек и X орлов. Легко видеть, что P-X в точности равно количеству решек во второй кучке.
Следующая загадка
Пять пиратов разных возрастов нашли клад в 100 золотых монет.
На корабле они решили поделить сокровище таким образом:
Самый старший пират предлагает, как поделить монеты, а потом ВСЕ пираты (включая самого старшего) голосуют за или против его предложения.
Если 50% или больше пиратов проголосуют «за», монеты так и поделят. В противном случае, пират, предложивший схему, будет выброшен за борт, а делёжка начнётся заново с оставшимися пиратами.
Поскольку практически все пираты кровожадны, то в случае, если пират получит одинаковое количество монет, проголосовав «за» или «против», то он проголосует «против», чтобы предложившего решение выбросили за борт.
Что же произойдёт, учитывая, что все пираты умные, рациональные, жадные и не хотят умирать (а также достаточно хороши в математике для пиратов)?
А теперь решение:
Самый старший пират предложит разделить монеты 98 : 0 : 1 : 0 : 1, другими словами самый старший пират получит 98 монет, пират среднего возраста получит 1 монету, и самый младший пират получит 1 монету.
Пусть пиратов зовут так (от старшего к младшему): Алекс, Билли, Колин, Дункан и Эдди.
Разберём ситуацию с конца:
2 пирата: Дункан поделит монеты 100 : 1 (заберёт всё золото себе). Его голос – это 50%, а этого достаточно для завершения сделки.
3 пирата: Колин поделит монеты 99 : 0 : 1. Эдди поддержит такое решение (и получит всего 1 монету), потому что знает, что, если он откажется, то останется всего два пирата, и он не получит ничего.
4 пирата: Билли поделит монеты 99 : 0 : 1 : 0. По той же причине, что и в предыдущем примере, Дункан поддержит такое решение. Билли не станет тратить монеты на Колина, поскольку Колин знает, что, если он откажется от предложения, то положит в карман 99 монет, когда Билли выбросят за борт. Билли также не даст ни одной монеты Эдди, потому что Эдди знает, что если он откажется от предложения, то в любом случае получит монету от Колина в следующий раз.
5 пиратов: Алекс поделит монеты 98 : 0 : 1 : 0 : 1. Предлагая одну золотую монету Колину (который в другом случае не получит ничего), он будет уверен, что сделка состоится.
Примечание: В последнем примере Алекс не даст ни одной монеты Билли, который знает, что может прикарманить 99 монет, если проголосует против предложения Алекса, и того сбросят за борт. Точно так же Алекс не даст ни монеты Дункану, поскольку Дункан знает, что, если он проголосует против, Алекса выкинут за борт, и Билли предложит ему ту же одну монету, что и Алекс. При прочих равных условиях Дункан лучше посмотрит, как Алекс полетит за борт, и получит свою монету от Билли.
Следующая загадка
Пять пиратов должны разделить между собой 100 золотых монет. Согласно пиратскому кодексу, делёж добычи происходит следующим образом.
Все пираты строго упорядочены по старшинству. Самый главный пират предлагает способ распределить монеты между присутствующими и выносит его на голосование. Если этот способ получает одобрение хотя бы половины участников (включая самого предложившего), то так и происходит, и на этом делёж заканчивается. В противном случае самого главного пирата выкидывают за борт (т.е. убивают), а право предложить свой способ получает следующий по старшинству, и так далее.
Принимая решение, пираты руководствуются следующими приоритетами:
1. Каждый пират хочет выжить.
2. Каждый пират хочет забрать себе как можно больше.
3. При прочих равных условиях, каждый пират предпочтёт выкинуть другого за борт.
Какой способ дележа добычи должен предложить главный пират, чтобы остаться в живых и забрать себе как можно больше монет?
Решение
На первый взгляд, главный пират должен оставить себе как можно меньше, или даже совсем ничего, только для того чтобы выжить. На самом же деле он забирает себе 98 монет из 100.
Для удобства обозначим пиратов A, B, C, D, E, причём A - самый главный, а E - самый младший из пиратов.
Предположим, что произошло так, что в живых осталось только два пирата, D и E. В этом случае D забирает все монеты себе, т.к. на голосовании он проголосует за себя, E проголосует против, и равенства голосов будет достаточно чтобы утвердить предложенный D способ.
Допустим теперь, что в живых остались трое: C, D и E. Тогда C предложит отдать ему 99 монет, а одну оставить E, и выиграет голосование. Действительно, D обязательно проголосует против (ему выгодно убить C и забрать всё себе), а E обязательно проголосует за (одна монета лучше, чем ничего). Заметим, что если E не оставить ни одной монеты, он проголосует против C, т.к. при прочих равных стремится выкинуть другого за борт. Отдавать лишние монеты D тоже не имеет смысла, т.к. он всё равно захочет забрать всё себе и проголосует против.
Предположим, что пиратов четверо: B, C, D, E. В этой ситуации пират B забирает себе 99 монет, а одну отдаёт D. Действительно, D не выгодно убивать B, потому что иначе они останутся втроём, и ему не достанется вообще ничего, а одна монета всё-таки лучше, чем ничего. Разумеется, B проголосует за себя, C и E проголосуют против (им выгодно остаться втроём), и при равенстве голосов предложение B будет утверждено.
Учитывая всё это, пират A может предложить C и E по одной монете, а себе забрать 98. В этом случает C и E проголосуют за него, потому что им невыгодно оставаться вчетвером. B и D, очевидно, проголосуют против, и со счётом 3 к 2 пират A выиграет голосование.
Следующая загадка
Частная школа "Тет-а-Тет"
вернуться к странице
Боря Малоохтинский запись закреплена
ЗАДАНИЕ №19 Профильного ЕГЭ по Математике (Ященко-50, вариант № 3)Пираты нашли сундук с сокровищами, в котором было 60 монет достоинством 1 дукат и 60 монет достоинством 5 дукатов.
а) Получится ли поделить все деньги поровну между 18 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
б) Получится ли поделить все деньги поровну между 40 пиратами (каждому должно достаться целое число монет, сдачи и размена ни у кого из пиратов нет)?
в) При каком наибольшем количестве пиратов капитану всегда удастся поделить монеты между ними, каким бы способом ему ни захотелось это сделать (возможно, кому-то из пиратов будет полагаться 0 монет)?
YouTube 5:42
ФИПИ Ященко 1 вариант 19 задание ЕГЭ 2020 математика (профиль)
Нравится Показать список оценивших
Боря Малоохтинский
Катя, спасибо за присланное видео. Выкладываю в группе,
так как абсолютно уверен, что многим может понадобиться
Ох, и двусмысленный же всё-таки в этой задаче пункт в)
Читайте также: