Загадка черной дыры радиус шварцшильда

Обновлено: 24.12.2024

Можно ли замедлить скорость света - Белые карлики, нейтронные звезды и общая теория относительности - Что такое сингулярность - «Звезда будет бесконечно сжиматься!» - «Черные дыры» или «застывшие звезды»

Что такое радиус Шварцшильда и горизонт событий

Как только радиус звезды достигнет значения r_S, время на ее поверхности замрет, и частота излучения будет равна нулю. Никакой сигнал не выходит из-под поверхности шварцшильдовского радиуса – горизонта событий, - будучи заморожен гравитацией. Иными словами, события (точки пространства-времени в понимании ОТО) по разные стороны сферы Шварцшильда никаким образом не могут быть соединены, и внешний наблюдатель лишен возможности узнать что-либо о событиях внутри.

Итак, радиус Шварцшильда – это параметр поверхности, на которой располагался бы горизонт событий, создаваемый массой сферически-симметричного невращающегося тела, если бы эта масса целиком была заключена внутри данной сферы.

Проскочив горизонт событий, сжимающееся тело не остановится – коллапс после этого рубежа станет необратимым, и оно рухнет в гравитационную "могилу" сингулярности. Мы действительно получили черную дыру.

Интересно ведет себя свет вблизи горизонта событий: в сильно искривленном пространстве лучи его оказываются пойманы на круговые орбиты. Совокупность таких неустойчивых хаотических орбит образует фотонную сферу.

Следующая загадка

Сегодня о черных дырах слышали практически все. О них пишут фантастические произведения, снимают художественные и научно-популярные фильмы и даже используют это выражение в переносном смысле, как символ места, где что-нибудь безвозвратно исчезает. И это, в общем, верно.

Но почему исчезает и почему безвозвратно? Для ответа на вопрос нам понадобится одно из ключевых понятий теории черных дыр – понятие радиуса Шварцшильда. Это- критический размер для любого объекта, обладающего массой, нужно только втиснуть данную массу в этот размер, и она окажется наглухо отделена от внешнего мира горизонтом событий.

Вблизи опасной черты

Расчеты Шварцшильда показывают, что, если размеры объекта много больше этой критической для массы M величины, то структура пространства-времени не слишком искажается его гравитацией: собственно, в этом случае можно пользоваться ньютоновским описанием тяготения и пренебречь поправками ОТО. Последние становятся существенны при r → r_S. Например, замедление времени и связанный с ним эффект гравитационного красного смещения. Тяготение искривляет пространство-время таким образом, что для удаленного наблюдателя время вблизи гравитирующего тела замедляется, в связи с чем уменьшается частота электромагнитных колебаний. Наблюдая сжимающуюся звезду, мы зафиксируем ее быстрое «покраснение» (вклад в данный эффект вносит еще и доплеровский сдвиг, поскольку поверхность звезды от нас будет удаляться).

Как сделать черную дыру

Получить простейшую черную дыру нетрудно – мысленно, конечно. Нужно взять звезду (или любое другое тело – например, планету или булыжник) и сжимать, уменьшая ее радиус при сохранении массы. Представим себя на такой звезде или планете: при сжатии она уплотняется, расстояние между всеми частицами ее вещества сокращается, следовательно, возрастает сила притяжения между ними – в полном соответствии с законом всемирного тяготения. Нас тоже станет прижимать к поверхности – ведь все частицы звезды приближаются и к нам.

Покинуть злосчастное небесное тело будет все труднее, а через некоторое время мы не сможем не только улететь с него, но и послать сигнал SOS – если дождемся момента, когда вторая космическая скорость (скорость убегания) на поверхности не достигнет скорости света. Произойдет это при достижении звездой некоторого критического размера.

Что такое сингулярность

В 1916 году немецкий астроном Карл Шварцшильд, прочитав только что опубликованную работу Эйнштейна, решил так преобразовать уравнения общей теории относительности, чтобы с их помощью можно было бы описать гравитационное поле звезды, то есть поле тяжести вне некоторого сферического тела. Лишь бы только это тело не вращалось. Шварцшильд получил выражение для той критической величины, вблизи которой поле тяжести можно назвать сверхсильным.

Случайно математическое выражение этой величины оказалось в точности таким, какое получил Лаплас для радиуса своей гипотетической невидимой звезды. И тогда выяснилась странная вещь. В уравнении оказалась, как говорят математики, сингулярность. То есть область, в которой поле тяжести обращается в бесконечность.

А Шварцшильд в рамках общей теории относительности нашел, что сила тяжести становится бесконечно большой при конечном, не равном нулю, расстоянии. Достаточно сжать звезду до некоторого критического размера, и сила тяжести на поверхности такой звезды станет бесконечно большой. Этот критический радиус и был назван гравитационным радиусом, или радиусом Шварцшильда.

Так вот, если радиус звезды ненамного больше гравитационного, то поле тяжести сверхсильно.

Советский физик Лев Давидович Ландау

Именно то, о чем мы только что говорили!

А если звезда состоит из нейтронов? А если во всех звездах есть нейтронные ядра? А если эти нейтронные ядра и являются источниками звездной энергии? Такие вопросы поставил Ландау в своей статье. На первый из вопросов ответили американские физики Роберт Оппенгеймер и Джордж (Георгий) Майкл Волков через год после того, как прочитали статью советского ученого. Оппенгеймер и Волков первыми решили задачу о том, как может выглядеть нейтронная звезда, какова ее структура.

И помогла им в этом общая теория относительности. Допустим, сказали они, что звезда целиком состоит из нейтронов. В нейтронном газе существует давление вырождения, которое в принципе способно уравновесить поле тяжести. Уравновесить в любой точке звезды. Но чему равна сила тяжести в любой точке звезды? Чтобы рассчитать это, Оппенгеймер и Волков применили общую теорию относительности. И уравновесили тяжесть давлением вырожденного нейтронного газа. Не простого газа, а идеального! В идеальном газе частицы друг с другом не взаимодействуют, и это существенно упрощает вычисления.

Но ребус этот не был еще решен окончательно. Что же случится с нейтронной звездой, если масса ее окажется больше найденного предела 0,7 массы Солнца?

Роберт Оппенгеймер (слева) и Джордж Волков (справа)

А теперь вернемся к черной дыре. Представьте, что звезда начала неудержимо сжиматься. Произошел, как говорят астрофизики, катастрофический коллапс, и вы начали падать к центру звезды вместе с ее веществом. Все кругом падает вместе с вами. Вам просто не за что зацепиться взглядом, падает ведь все вещество звезды! И получается, что вы совершенно неподвижны относительно тех частиц вещества, которые летят поблизости от вас и с которыми вы можете сравнивать показания своих часов и длины своих линеек.

Наглядная схема того «как устроена» черная дыра

Те фотоны, которые частица излучит вблизи самой сферы Шварцшильда, будут отделены для вас друг от друга интервалами в тысячи, десятки тысяч, миллионы лет. А последний фотон, который частица испустит, пересекая сферу Шварцшильда, дойдет до вас за бесконечное время и будет иметь бесконечно малую энергию. Иными словами, вы этот фотон никогда не увидите.

Черные дыры, откуда ни один луч света не может выйти к наблюдателю. Черные дыры, которые все заглатывают своим тяготением. Черные дыры, которые, в сущности, не звезды, а растянутый до бесконечности процесс сжатия звезды. Черные дыры, которые и сейчас представляют для теоретиков, для всех знатоков теории относительности увлекательную и не разрешенную пока загадку.

Следующая загадка

Физическое тело, радиус которого меньше его радиуса Шварцшильда, превращается в горизонт событий для невращающегося тела (для вращающейся черной дыры, горизонт событий имеет форму эллипсоида, и радиус Шварцшильда дает оценку размеров этого эллипсоида.) Радиус Шварцшильда для сверхмассивной черной дыры в центре нашей галактики равен примерно 7.8 миллионов км. Радиус Шварцшильда сферы, равномерно заполненной веществом с плотностью, которая равна Вселенной.

Формула радиуса Шварцшильда

Радиус Шварцшильда пропорционален массе, в коэффициент пропорциональности входит гравитационная постоянная и скорость света. Формула для радиуса Шварцшильда получается, если приравнять вторую космическую скорость скорости света:

>>>>" width="" height="" />
.

=>>>" width="" height="" />

=m\times 1.48\times 10^>" width="" height="" />

где >" width="" height="" />
измеряется в метрах и " width="" height="" />
в килограммах.

Таким образом, объект с фиксированной плотностью может быть достаточно большим, чтобы сколлапсировать внутри собственного радиуса Шварцшильда:

\propto >>>>" width="" height="" />

Заметим, что хотя этот результат и правильный, для его полного вывода требуется применять аппарат общей теории относительности. Скорее всего, то что классическая Ньютоновская физика дает правильный результат, всего лишь случайное совпадение. В то же время возможно, что это имеет более глубокие корни и может указывать на существование неизвестных симметрий в природе.

Немного вычислений

Расчет радиуса Шварцшильда (гравитационного радиуса) для любого тела очень прост. Нужно взять формулу для расчета второй космической скорости v₂ =√(2GM/r)_, где v₂ – скорость убегания, M – масса, r – радиус, G – гравитационная постоянная, коэффициент пропорциональности, установленный экспериментальным путем. Значение его постоянно уточняется; сейчас оно принято равным 6,67408 × 10 -11 м 3 кг -1 с -2 .

Пусть v=c. Производим необходимую замену в уравнении и получаем: r_g =2GM/c 2 , где r_g – гравитационный радиус.

В правой части уравнения имеем две константы – гравитационную постоянную и скорость света. Так что радиус Шварцшильда – это величина, зависящая только от массы тела и прямо пропорциональная ей.

Произведя несложные вычисления, легко узнать, чему равен радиус Шварцшильда, например, для Земли: 8,86 мм. Втисните массу планеты в шарик диаметром чуть более полутора сантиметров - и вы получите черную дыру. Для Юпитера гравитационный радиус составит 2,82 м, для Солнца – 2,95 км. Играть можно с чем угодно, единственное ограничение на условия нахождения радиуса Шварцшильда - это минимальная возможная масса черной дыры 2,176 × 10 -8 кг (планковская масса).

Можно ли замедлить скорость света?

И все же, вопросы оставались. Дело в том, что орбиты движения планет все же чуть-чуть отличались от рассчитанных по законам Ньютона и Кеплера. А у Меркурия, положение перигелия отклонялось от предвычисленного на целые 43 угловые секунды в столетие!

Так что когда Альберт Эйнштейн создал частную теорию относительности и занялся теорией тяготения, это не было какой-то прихотью. Просто вопрос уже назрел и на него требовался ответ.

Вскоре Эйнштейн доказал, что перигелий Меркурия должен перемещаться именно на 43 угловые секунды в столетие. Кроме того, из общей теории относительности следовало, что луч света, который прежде считался движущимся только прямолинейно, должен отклоняться от своей прямой траектории, оказавшись в поле тяжести какого-то массивного тела.

И значит, луч света должен, как обыкновенный камень, двигаться в поле тяжести по кривой линии, которую можно рассчитать.

Ещё интереснее был другой вопрос: если подбросить вверх камень, то он будет лететь все медленнее, его кинетическая энергия будет расходоваться на преодоление пут тяготения. В конце концов она истратится вся, камень на мгновение остановится и начнет падать. Но ведь и луч света испущенный вверх, против поля тяжести, тоже должен терять свою энергию.

Черные дыры обязаны быть

Идея о том, что должны существовать объекты с таким соотношением массы и радиуса, что даже свет не может вырваться из этой гравитационной «ловушки», довольно стара. Восходит она к концу XVIII века, к работам Дж. Митчелла и П. Лапласа и ныне представляет интерес, скорее, для истории науки. А современное понимание сущности черных дыр берет начало в 1916 году, когда немецкий физик и астроном Карл Шварцшильд впервые применил общую теорию относительности для решения астрофизической задачи.

Требовалось описать гравитационное поле одиночного сферического невращающегося тела в вакууме. Решением задачи стала так называемая метрика Шварцшильда, в которой присутствует уже знакомый нам параметр, равный 2GM/c 2 – гравитационный радиус (ученый обозначил его как r_S).

Следующая загадка

Датский студент Альберт Снеппен из университета Нильса Бора вывел точные уравнения, описывающие искривление света вблизи горизонта событий чёрной дыры. Работа с подробным описанием опубликована в журнале Scientific Reports.

Известно, что чёрные дыры искривляют пространство-время благодаря своей гравитации, и чем ближе к её центру, тем сильнее искривление. В какой-то момент оно становится настолько сильным, что даже свет не в состоянии покинуть чёрную дыру. Граница, на которой это происходит, называется горизонтом событий чёрной дыры, и определяется он радиусом Шварцшильда.

Оказавшиеся сразу за горизонтом событий фотоны будут следовать кривизне пространства, и с точки зрения стороннего наблюдателя путь света будет искривлённым. Вблизи горизонта событий появится фотонное кольцо – это путь, который фотоны будут проходить многократно, пока либо не упадут в чёрную дыру, либо не уйдут обратно в окружающее пространство.

Получается, что свет далёких объектов усиливается, искажается и их изображение может быть несколько раз скопировано. Всё это мы называем «гравитационной линзой», и этот эффект может оказаться весьма полезным инструментом для изучения Вселенной.

Изучая этот эффект, исследователи поняли, что чем ближе линия нашего взгляда будет к чёрной дыре, тем больше визуальных копий одного и того же объекта мы можем увидеть.

Следующая копия находится примерно в 500 раз ближе предыдущей к оптическому краю чёрной дыры – об этом говорит экспоненциальная функция e 2π , но почему всё происходит именно так, учёные затруднялись описать на уровне строгой математики.

Снеппен переформулировал траекторию движения света и количественно описал его линейную стабильность при помощи дифференциальных уравнений второго порядка. Из его решения следует не только математически точное описание повторения изображений на указанных расстояниях, но и то, что у вращающихся чёрных дыр этот коэффициент зависит от скорости их вращения.

По его словам, если чёрная дыра вращается очень быстро, к ней надо приближаться уже не в 500 раз ближе, а значительно меньше – в 50, 5 или всего в 2 раза ближе.

Наблюдать это на практике при современном технологическом уровне развития будет достаточно сложно – пока сложной задачей остаётся даже разбор светового кольца вокруг супермассивной чёрной дыры M87*.

Теоретически вокруг горизонта чёрной дыры может находиться бесконечное количество световых колец. Мы уже смогли получить изображение тени чёрной дыры, поэтому можем надеяться на получение изображений лучшего качества. Также уже есть планы на получение изображения фотонного кольца.

Однажды бесконечное количество изображений близ горизонта чёрной дыры может стать инструментом не только изучения физики чёрной дыры, но и объектов, расположенных за ней, чьи изображения бесконечно повторяются на световой орбите.

По словам Снеппена, есть что-то фантастически прекрасное в объяснении того, почему эти изображения повторяются таким элегантным образом. А кроме того, всё это даёт нам новые возможности для проверок наших теорий гравитации и чёрных дыр.

Все сложнее

Шварцшильдовская черная дыра – это простейший случай, вряд ли реализуемый во Вселенной, поскольку трудно найти невращающееся космическое тело, и при образовании реальных черных дыр угловой момент должен сохраняться. Вращающаяся черная дыра может постепенно терять энергию, приближаясь к шварцшильдовскому состоянию. Скорость вращения ее будет стремиться к нулю, но не достигнет его.

Расчеты радиуса черной дыры Шварцшильда сделаны в рамках ОТО и являются классическими. Однако, мы не будем касаться эффектов, налагаемых на современные модели черных дыр квантовой механикой, так как одно перечисление их увело бы нас далеко от темы.

Сделаем только одно замечание: классическая теория утверждает, что прямое наблюдение горизонта событий невозможно. Впрочем, в истории науки часто считавшееся невозможным успешно осуществлялось, и в этом смысле теоретические исследования квантовомеханических явлений в черных дырах наверняка принесут еще много неожиданного и интересного. В рамках же классики физика черных дыр - это пример прекрасно разработанной, красивой теории, а основой ее исторически является работа Шварцшильда.

Белые карлики, нейтронные звезды и общая теория относительности

В 1919 году Артур Стэнли Эддингтон, наблюдая солнечное затмение, обнаружил, что звезды около затемненного Луной края солнечного диска сместились со своих мест. Это означало, что луч света от далекой звезды, проходя по пути к Земле рядом с Солнцем, отклонялся от прямолинейной траектории. Измеренный эффект смещения практически точно совпал с предсказанным.

Примерная плотность различных сверхмассивных космический тел: белых карликов, нейтронных, кварковых звезд и т.п.

Размер белого карлика составляет 10 тысяч километров, и в нем уже проявляются эффекты общей теории относительности. Оказывается, без них нельзя точно рассчитать ни предельную массу белого карлика, ни смещение линий в его спектре. Что же тогда говорить о нейтронной звезде, размер которой, если верить предсказаниям Цвикки, еще в сотни раз меньше! Ведь и поле тяжести на поверхности нейтронной звезды должно быть в сотни раз больше!

Гравитация массивного объекта отклоняет фотоны света и по этому отклонению, мы можем судить о массе объекта

Читайте также: