Теорема ферма загадка нескольких столетий
Обновлено: 05.11.2024
Теореме Ферма, которой по праву принадлежит высокий эпитет — Великая, или Большая, отведено почетное место в ряду математических явлений, т.к. именно эта теорема стала символом-загадкой, над решением которой бились более нескольких столетий (теорема впервые была сформулирована в 1636 году) не только неискушенные математики, но и опытные ученые, считая делом собственной чести найти разгадку этого феномена . Несмотря на то, что в 1995 году Эндрю Уайлсом Теорема Ферма была доказана, эта задача до сих пор входит в число нерешенных математических проблем из-за неистощимого желания математиков найти теперь более простое (доказательство Уайлса занимает около 130 страниц текста) и изящное решение.
Итак, какого же условие теоремы, наделавшей столько шуму в математических кругах всего мира? Оно удивительно коротко:
Для любого натурального n > 2 уравнение Xn + Yn = Zn не будет иметь натуральных решений для x, y и z.
Если к утверждению Ферма присмотреться повнимательнее, то в нем без труда можно разглядеть не менее знаменитый частный его случай — известнейшую теорему Пифагора, в условии которой n=2 и которая имеет бесконечное множество решений — так называемые пифагоровы треугольники.
Некоторые частные случаи теоремы Ферма были доказаны: Эйлер, Дирихле и Лежандр, а также Ламе нашли решения для n=3, 5 и 7 соответственно; Куммеру удалось доказать, что теорема может быть верна для всех простых чисел в том случае, если они меньше 100 и не являются 37, 59 и 67; сам Ферма привел доказательство собственной теоремы для n=4, хотя это и поставило под сомнение существование у него полного доказательства. С течением времени значения n все более увеличивались до невероятно больших значений, однако, несмотря на все многочисленные попытки, взять неприступную крепость под названием Теорема Ферма до конца XX века не удавалось никому.
В 1995 году университетский профессор Эндрю Уайлс, опираясь на парадоксальную гипотезу японского математика Таниямы, утверждающую, что «описательные уравнения двух соответствующих друг другу абсолютно разных математических объектов можно разложить в один и тот же математический ряд», и утверждение немецкого математика Герхарда Фрея о том, что только подтвердив гипотезу Таниямы, можно доказать теорему Ферма, первым доказал Великую теорему, став ее истинным покорителем.
Тем не менее, не будем забывать, что доказательство Уайлся строится на достижениях высшей математики XX века, а Ферма жил в XYII веке, но, тем не менее, владел, по его признанию, решением собственной математической загадки. Так, может быть, ключ к разгадке теоремы Ферма лежит намного ближе, чем предложил Уайлс?
Следующая загадка
В мире можно найти не так уж много людей, ни разу не слышавших о Великой теореме Ферма — пожалуй, это единственная математическая задача, получившая столь широкую известность и ставшая настоящей легендой. О ней упоминается во множестве книг и фильмов, при этом главный контекст почти всех упоминаний — невозможность доказать теорему .
Да, эта теорема очень известна и в некотором смысле стала «идолом», которому поклоняются математики-любители и профессионалы, но мало кому известно о том, что ее доказательство найдено, а произошло это в уже далеком 1995 году. Но обо всем по порядку.
Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая последней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестящим французским математиком Пьером Ферма , очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образованием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.
Почему она так знаменита? Сейчас узнаем .
А для любителей математики добавлю еще рассуждения о Золотом сечении и симметрии или вот например вы знаете, почему по прямой дальше, чем по дуге ?. Ну и на всякий случай напомню, где можно почитать ВСЕ РАЗОБЛАЧЕНИЯ !
Информация об этом журнале
- Цена размещения 200 жетонов
- Социальный капитал 35 182
- В друзьях у 2 500+
- Длительность 4 часа
- Минимальная ставка 200 жетонов
И все же Он прав.
Речь идет о великой теореме Ферма.
Французский математик Пьер Ферма вписал свое имя в историю всего одной фразой. На полях рукописи с формулировкой знаменитой теоремы в 1637(!) году он сделал пометку: "Я нашел удивительное решение, но здесь маловато места, чтобы его поместить". Тогда и началась удивительная математическая гонка, в которую наряду с выдающимися учеными включилась армия дилетантов (их называют «фермистами»).
Простая на первый взгляд теорема Ферма не поддавалась доказательству в течение 100 лет. Вначале Эйлер доказал теорему для n=4, затем через 20 лет он же доказал теорему для n=3. Затем теорему доказали для n равных 5, 7 и даже для n=100, а с появлением компьютеров довели значения n до 1000. Однако все равно оставался вопрос правильности теоремы при, скажем, очень больших числах (в любой ЭВМ количество чисел все равно ограничено) и при показателе степени n больше 1000.
При этом доказательства были основаны на методах, которых не мог знать Ферма и доказывали теорему по «кусочкам», а не целиком. Попытки доказательства приводили лишь к количественному увеличению значений n. Однако Ферма говорил о любом значении больше 2.
И, самое интересное, как доказал свою теорему Ферма? Все известные в настоящее время ухищрения были ему неизвестны.
Попытки доказать теорему привели к созданию целой теории, так называемой «Теории вычетов». На основании этой теории в 1995 году (то есть спустя 358 лет) теорему вроде бы удалось доказать Эндрю Уайлсу. Однако, даже если теорема доказана, то далеко не простейшим способом, на чем настаивал сам Ферма и доказательство это понятно лишь очень узкому кругу специалистов.
Такое доказательство не остановило «фермистов» и они продолжили поиск более простого и понятного доказательства теоремы. Это и логично, Ферма не мог знать «Теории вычетов», сама «Теория вычетов» является порождением теоремы Ферма.
В связи с тем, что до настоящего времени не было найдено удовлетворяющего доказательства теоремы, считалось, что Ферма либо ошибся, либо просто угадал результат, а не доказал теорему.
Однако, как оказалось, это не так. Сейчас можно с уверенностью сказать, что Ферма был прав, что «удивительное решение» теоремы существует и он действительно нашел его для любых значений показателя степени n.
В настоящее время доказательство великой теоремы Ферма найдено и опубликовано в первом номере научного электронного журнала «Физ-мат» за 2014 год (то есть, спустя 377 лет) в статье «О показателе степени некоторых числовых равенств». Доказательство (а в работе приведено доказательство для более широкого класса числовых равенств, содержащих любое число входящих в него слагаемых) занимает всего 11 страниц текста, справедливо для любых значений показателя степени n и, главное, доступно для понимания.
Приведенное в журнале доказательство теоремы полностью реабилитирует Ферма.
С уважением: Автор статьи «О показателе степени некоторых
числовых равенств» Соловьев Анатолий Борисович.
Следующая загадка
В мире можно найти не так уж много людей, ни разу не слышавших о Великой теореме Ферма — пожалуй, это единственная математическая задача, получившая столь широкую известность и ставшая настоящей легендой. О ней упоминается во множестве книг и фильмов, при этом главный контекст почти всех упоминаний — невозможность доказать теорему .
Да, эта теорема очень известна и в некотором смысле стала «идолом», которому поклоняются математики-любители и профессионалы, но мало кому известно о том, что ее доказательство найдено, а произошло это в уже далеком 1995 году. Но обо всем по порядку.
Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая последней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестящим французским математиком Пьером Ферма , очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образованием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.
Почему она так знаменита? Сейчас узнаем .
Мало ли доказанных, недоказанных и пока не доказанных теорем? Тут все дело в том, что Великая теорема Ферма являет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства. Великая теорема Ферма – задача невероятно трудная, и тем не менее ее формулировку может понять каждый с 5-ю классами средней школы, а вот доказательство – даже далеко не всякий математик-профессионал. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго. 2. В чем же она состоит?
Начнем с пифагоровых штанов Формулировка действительно проста – на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны». Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, – теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.
В V веке до н.э. Пифагор основал пифагорейское братство. Пифагорейцы, помимо прочего, изучали целочисленные тройки, удовлетворяющие равенству x²+y²=z². Они доказали, что пифагоровых троек бесконечно много, и получили общие формулы для их нахождения. Наверное, они пробовали искать тройки и более высоких степеней. Убедившись, что это не получается, пифагорейцы оставили бесполезные попытки. Члены братства были больше философами и эстетами, чем математиками.
То есть легко подобрать множество чисел, которые прекрасно удовлетворяют равенству x²+y²=z²
Начиная с 3, 4, 5 – действительно, младшекласснику понятно, что 9+16=25.
Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Замечательно.
Ну и так далее. А если взять похожее уравнение x³+y³=z³ ? Может, тоже есть такие числа?
И так далее (рис.1).
Так вот, оказывается, что их НЕТ. Вот тут начинается подвох. Простота – кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение.
Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? легко: бац – а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен. А как доказать отсутствие?
Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.
В наглядном виде это можно показать так: если взять два квадратика подходящих размеров и разобрать на единичные квадратики, то из этой кучки единичных квадратиков получается третий квадратик (рис. 2):
А проделаем то же с третьим измерением (рис. 3) – не получается. Не хватает кубиков, или остаются лишние:
А вот математик XVII века француз Пьер де Ферма с увлечением исследовал общее уравнение x n +y n =z n . И, наконец, сделал вывод: при n>2 целочисленных решений не существует. Доказательство Ферма безвозвратно утеряно. Рукописи горят! Осталось лишь его замечание в «Арифметике» Диофанта: «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его».
Вообще-то, теорема без доказательства называется гипотезой. Но за Ферма закрепилась слава, что он никогда не ошибается. Даже если он не оставлял доказательства какого-нибудь утверждения, впоследствии оно подтверждалось. К тому же, Ферма доказал свой тезис для n=4. Так гипотеза французского математика вошла в историю как Великая теорема Ферма.
После Ферма над поиском доказательства работали такие великие умы, как Леонард Эйлер (в 1770 году им было предложено решение для n = 3),
Адриен Лежандр и Иоганн Дирихле (эти ученые в 1825 году совместно нашли доказательство для n = 5), Габриель Ламе (нашедший доказательство для n = 7) и многие другие. К середине 80-х годов прошлого века стало понятно, что ученый мир находится на пути к окончательному решению Великой теоремы Ферма, однако только в 1993 году математики увидели и поверили, что трехвековая эпопея по поиску доказательства последней теоремы Ферма практически закончилась.
Легко показывается, что теорему Ферма достаточно доказать только для простых n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При составных n доказательство остаётся в силе. Но и простых чисел бесконечно много…
В 1825 году, применив метод Софи Жермен, женщины-математика, Дирихле и Лежандр независимо друг от друга доказали теорему для n=5. В 1839 году тем же методом француз Габриель Ламе показал истинность теоремы для n=7. Постепенно теорему доказали почти для всех n, меньших ста.
Наконец, немецкий математик Эрнст Куммер в блестящем исследовании показал, что методами математики XIX века теорему в общем виде доказать нельзя. Премия Французской Академии Наук, учреждённая в 1847 году за доказательство теоремы Ферма, осталась невручённой.
В 1907 году богатый немецкий промышленник Пауль Вольфскель из-за неразделённой любви решил свести счёты с жизнью. Как истинный немец он назначил дату и время самоубийства: ровно в полночь. В последний день он составил завещание и написал письма друзьям и родственникам. Дела закончились раньше полночи. Надо сказать, что Пауль интересовался математикой. От нечего делать он пошёл в библиотеку и принялся читать знаменитую статью Куммера. Неожиданно ему показалось, что Куммер в ходе рассуждений совершил ошибку. Вольфскель стал с карандашом в руках разбирать это место статьи. Полночь миновала, наступило утро. Пробел в доказательстве был восполнен. Да и сам повод для самоубийства теперь выглядел совершенно нелепым. Пауль разорвал прощальные письма и переписал завещание.
Вскоре он умер естественной смертью. Наследники были изрядно удивлены: 100 000 марок (более 1 000 000 нынешних фунтов стерлингов) передавались на счёт Королевского научного общества Гёттингена, которое в том же году объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля. 100 000 марок полагались доказавшему теорему Ферма. За опровержение теоремы не полагалось ни пфеннига…
Большинство профессиональных математиков считали поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадёжным делом и решительно отказывались тратить время на такое бесполезное занятие. Зато любители порезвились на славу. Через несколько недель после объявления на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Профессор Э. М. Ландау, в обязанность которого входил разбор присланных доказательств, раздал своим студентам карточки:
Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. . в строке . . Из-за неё всё доказательство утрачивает силу.
Профессор Э. М. Ландау
В 1963 году Пауль Коэн, опираясь на выводы Гёделя, доказал неразрешимость одной из двадцати трех проблем Гильберта — гипотезы континуума. А что, если Великая теорема Ферма тоже неразрешима?! Но истинных фанатиков Великой теоремы это ничуть не разочаровало. Появление компьютеров неожиданно дало математикам новый метод доказательства. После Второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1 000, а позже до 10 000.
В 80-е годы Сэмюэль Вагстафф поднял предел до 25 000, а в 90-ых математики заявили, что Великая теорема Ферма верна при всех значениях n до 4 миллионов. Но если от бесконечности отнять даже триллион триллионов, она не станет меньше. Математиков не убеждает статистика. Доказать Великую теорему значило доказать её для ВСЕХ n, уходящих в бесконечность.
В 1954 году два молодых японских друга-математика занялись исследованием модулярных форм. Эти формы порождают ряды чисел, каждая - свой ряд. Случайно Танияма сравнил эти ряды с рядами, порождаемыми эллиптическими уравнениями. Они совпадали! Но модулярные формы – геометрические объекты, а эллиптические уравнения – алгебраические. Между столь разными объектами никогда не находили связи.
Тем не менее, друзья после тщательной проверки выдвинули гипотезу: у каждого эллиптического уравнения существует двойник – модулярная форма, и наоборот. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого направления в математике, но до тех пор, пока гипотеза Таниямы–Симуры не была доказана, всё здание могло рухнуть в любой момент.
В 1984 году Герхард Фрей показал, что решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение. Двумя годами позже профессор Кен Рибет доказал, что это гипотетическое уравнение не может иметь двойника в модулярном мире. Отныне Великая теорема Ферма была нерасторжимо связана с гипотезой Таниямы–Симуры. Доказав, что любая эллиптическая кривая модулярна, мы делаем вывод, что эллиптического уравнения с решением уравнения Ферма не существует, и Великая теорема Ферма была бы тотчас же доказана. Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы–Симуры не удавалось, и надежд на успех оставалось всё меньше.
В 1963 году, когда ему было всего десять лет, Эндрю Уайлс уже был очарован математикой. Когда он узнал о Великой теореме, то понял, что не сможет отступиться от неё. Школьником, студентом, аспирантом он готовил себя к этой задаче.
Узнав о выводах Кена Рибета, Уайлс с головой ушёл в доказательство гипотезы Таниямы–Симуры. Он решил работать в полной изоляции и секретности. «Я понимал, что всё, что имеет какое-то отношение к Великой теореме Ферма, вызывает слишком большой интерес… Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели». Семь лет упорной работы принесли плоды, Уайлс наконец завершил доказательство гипотезы Таниямы–Симуры.
В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма (Уайльс прочитал свой сенсационный доклад на конференции в Институте сэра Исаака Ньютона в Кембридже.) , работа над которым продолжалась более семи лет.
Пока в печати продолжалась шумиха, началась серьёзная работа по проверке доказательства. Каждый фрагмент доказательства должен быть тщательно изучен прежде, чем доказательство может быть признано строгим и точным. Уайлс провёл беспокойное лето в ожидании отзывов рецензентов, надеясь, что ему удастся получить их одобрение. В конце августа эксперты нашли недостаточно обоснованное суждение.
Оказалось, что данное решение содержит грубую ошибку, хотя в целом и верно. Уайлс не сдался, призвал на помощь известного специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора, и уже в 1994 году они опубликовали исправленное и дополненное доказательство теоремы. Самое удивительное, что эта работа заняла целых 130 (!) полос в математическом журнале «Annals of Mathematics». Но и на этом история не закончилась — последняя точка была поставлена только в следующем, 1995 году, когда в свет вышел окончательный и «идеальный», с математической точки зрения, вариант доказательства.
«…через полминуты после начала праздничного обеда по случаю её дня рождения, я подарил Наде рукопись полного доказательства» (Эндрю Уальс). Я ещё не говорил, что математики странные люди?
На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи были подвергнуты самому тщательному анализу и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of Mathematics».
С того момента прошло немало времени, однако в обществе до сих пор бытует мнение о неразрешимости Великой теоремы Ферма. Но даже те, кто знает о найденном доказательстве, продолжают работу в этом направлении — мало кого устраивает, что Великая теорема требует решения в 130 страниц!
Поэтому сейчас силы очень многих математиков (в основном это любители, а не профессиональные ученые) брошены на поиски простого и лаконичного доказательства, однако этот путь, скорее всего, не приведет никуда .
А для любителей математики добавлю еще рассуждения о Золотом сечении и симметрии или вот например вы знаете, почему по прямой дальше, чем по дуге ?. Ну и на всякий случай напомню, где можно почитать ВСЕ РАЗОБЛАЧЕНИЯ !
Следующая загадка
В мире можно найти не так уж много людей, ни разу не слышавших о Великой теореме Ферма — пожалуй, это единственная математическая задача, получившая столь широкую известность и ставшая настоящей легендой. О ней упоминается во множестве книг и фильмов, при этом главный контекст почти всех упоминаний — невозможность доказать теорему .
Да, эта теорема очень известна и в некотором смысле стала «идолом», которому поклоняются математики-любители и профессионалы, но мало кому известно о том, что ее доказательство найдено, а произошло это в уже далеком 1995 году. Но обо всем по порядку.
Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая последней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестящим французским математиком Пьером Ферма , очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образованием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.
Почему она так знаменита? Сейчас узнаем .
А для любителей математики добавлю еще рассуждения о Золотом сечении и симметрии или вот например вы знаете, почему по прямой дальше, чем по дуге ?. Ну и на всякий случай напомню, где можно почитать ВСЕ РАЗОБЛАЧЕНИЯ !
Читайте также: