5 загадок ленты мебиуса

Обновлено: 24.12.2024

Для многих людей математика является и трудной, и непонятной, и неинтересной. Сухомлинский считал», что чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». «Мышление начинается с удивления»,- заметил 2500 лет назад Аристотель. А математика замечательный предмет для удивления.

Цель работы: изучить и опытно – экспериментальным путём проверить свойства ленты Мёбиуса.

Результаты проведённых опытов, позволили сделать вывод, что лента Мёбиуса обладает не только свойством односторонности, но и такими, действительно, неожиданными свойствами, как непрерывность и связность.

Знания о листе Мёбиуса имеют и практическое значение в жизни человека. Свойство односторонности ленты Мёбиуса используют в технике. Лента Мебиуса нашла свое отражение и в художественных произведениях, искусстве.

Вложение	Размер
Знания о листе Мёбиуса имеют и практическое значение в жизни человека. Свойство односторонности ленты Мёбиуса используют в техни	358.5 КБ

Предварительный просмотр:

Цель работы: изучить и опытно – экспериментальным путём проверить свойства ленты Мёбиуса.

2. А. Ф. Мёбиус и его открытие . 5

2.1 .А.Ф.Мёбиус и его поразительное открытие………………………………….5

2.2.Что такое топология. 5

3.Свойства ленты Мёбиуса. . 7

4. Применение ленты Мебиуса

6. Список использованной литературы… ………………………………….. 10

«Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Это знаменитое высказывание М.Л.Ломоносова известно всем.

На самом деле математика - орудие, с помощью которого человек познаёт и покоряет себе окружающий мир. Она нужна каждому и на ЕГЭ математику сдают все. Однако результаты экзамена за последний год показывают, что до 60% выпускников сдали его на «3», если бы переводили баллы в отметки, и к сожалению есть выпускники, получившие двойки. Это лишь один из показателей того, что для многих людей математика является и трудной, и непонятной, и неинтересной. Отсутствие интереса к изучению математики создаёт серьёзную исследовательскую проблему – как сделать данный предмет увлекательным для всех.

Ещё Блез Паскаль - великий французский физик и математик утверждал: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая, сделать его немного занимательным».

Я сделал вывод, что математика полна неожиданностей на примере открытия А.Ф. Мёбиуса, его знаменитого бумажного кольца с сюрпризами. Я предположил, что лист Мёбиуса, как топологическая фигура, обладает действительно неожиданными свойствами.

Отсюда, объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности. Предмет исследования: свойства односторонний поверхности на примере ленты Мёбиуса

-изучить и опытно – экспериментальным путём проверить удивительные свойства ленты Мёбиуса.

В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определились следующие задачи :

- раскрыть понятие топологии;

-изучить вклад А.Ф. Мёбиуса в развитие науки топологии;

- описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления;

- показать использование листа Мёбиуса в искусстве;

- проверить опытно-экспериментальным путём эти свойства .

Метод исследования: практический эксперимент.

Теоретическая значимость работы в том, что в последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии .

2. . А.Ф. Мёбиус и его поразительное открытие

2.1 . Мёбиус Август Фердинанд

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка.

1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят лента Мёбиуса) открыл в1858г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те времена изучение математики не встречало поддержки, а занятие астрономией давало достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляло время для размышлений. А.Ф. Мёбиус - в течение более чем 15 лет наблюдатель, а потом директор Лейпцигской астрономической обсерватории, был разносторонним ученым. Он сделал много интересных открытий, стал одним из крупнейших геометров Х1Х в. В возрасте 68 лет он сделал поразительное открытие - односторонние поверхности, одна из которых - лист Мёбиуса. В своей работе «Об объёме многогранников» он описал геометрическую поверхность, обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону! Мёбиус является одним из основателей современной топологии.

2.2.Что такое топология?

Тополо́гия (от греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел геометрии, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек).

Сама топология, можно сказать, началась именно с листа Мёбиуса.

Что такое “Лента Мебиуса”? Она относится к числу “математических неожиданностей”. В 1858 г. Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мебиус, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

Одновременно с Мебиусом изобрел этот лист Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мебиус – в 1862г. Открыть свой “лист” Мебиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты.

Возьмем бумажную ленту, повернем один ее конец на пол-оборота (на 180 градусов), а потом склеим его с другим концом. Получим ленту Мебиуса ( приложение 1).

Слово это придумал Иоган Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, который почти в тоже время, что и его лейпцигский коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам, единожды перекрученную, ленту.

Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не изменяются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – «взрыва» фигуры. Топология известна и под именем «резиновая геометрия», потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

Топология-«геометрия положения». У этого листа есть удивительные свойства: он имеет один край, одну сторону. Данные свойства не связаны с его положением в пространстве, с понятием расстояния, угла и, тем не менее, они имеют геометрический характер. Изучением этих свойств занимается топология. Свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны с наиболее абстрактными математическими дисциплинами - алгеброй и теорией функций. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины). С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и тоже. Сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Понятие и теоремы топологии полезны во всех областях математики, в технике, в экономике, психологии.

Топология – одна из наук, в которых не решены многие проблемы. Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах ( и то не во всех!).

3. Свойства ленты Мёбиуса

Чем знаменита “Лента Мебиуса”? Лента Мёбиуса преподнесет нам не один сюрприз

Она имеет только одну сторону.

Раскрасим внутреннюю и внешнюю сторону обычного кольца разными красками.
Попробуем раскрасить ленту Мебиуса.

Вывод : «Если кто-нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишет Рихард Курант и Герберт Робинс в превосходной книге «Что такое математика?»

Лента Мебиуса – односторонняя поверхность.

Можно провести еще опыт, подтверждающий данный вывод.

На внутреннюю сторону обычного кольца посадим зайца, а на наружную волка. Разрешили бегать как угодно, запретив перелезать через края кольца.

Вывод : они не встретятся; каждый пробежит только одну, «свою» сторону кольца.

Посадим на ленту Мебиуса зайца и волка. Разрешим им бежать в разных направлениях.

Вывод : заяц и волк столкнулись! Лента Мебиуса – односторонняя поверхность.

Этой поразительной особенностью не исчерпываются свойства ленты Мебиуса. Попробуем закрасить узенькую полоску ее края.

Вывод: у ленты Мебиуса не только одна сторона , но и только один край! Лента Мебиуса непрерывная поверхность.

Лента Мёбиуса преподнесет нам не один сюрприз, если вы попытаетесь ее разрезать.

Сначала разрежем по середине. “Ну вот, - подумали вы, - сейчас получиться два отдельных кольца”. Но что это? Вместо двух колец получается одно! Причем оно больше и тоньше другого.

Если разрезать ленту на расстояние 1/3 ее ширины от края, то получиться два кольца. Но! Одно большое и сцепленное с ним маленькое.

Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль, посередине, то у вас окажется весьма “затейливое” переплетение двух колец – одинаковых по размеру, но разных по ширине.

Вывод : лента Мёбиуса обладает еще одним неожиданным свойством не только непрерывности, но и связности.

Что получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (т.е. на 360градусов)? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.

Свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль по середине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между с собой.

Разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать кольца по очереди – и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.

Таким образом, мы убедились, что лента Мёбиуса обладает не только свойством односторонности , но и такими неожиданными свойствами, как непрерывность и связность.

4. Применение ленты Мебиуса.

Свойство односторонности листа Мебиуса было использовано в технике: если ременной передачи ремень сделать в виде листа Мебиуса, то его поверхность будет изнашиваться в двое медленнее, чем у обычного кольца. Это дает ощутимую экономию.

Есть авторское свидетельство на магнитофон с лентой Мёбиуса: получают ленту, которая долговечней обычной также в 2 раза.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Физики утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

Лента Мебиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лента Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.

Лист Мёбиуса в искусстве.

Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах. Лента Мебиуса вдохновила многих художников на создание известных скульптур, картин и для графического искусства . Чудесные свойства породили множество многочисленных фантастических рассказов. В одном из них, описывался случай в Нью-Йоркском метро, когда потерялся во времени поезд, отправившийся в путь по пути, замкнутом в ленту Мебиуса.

Серию вариантов листа Мёбиуса создал скульптор Макс Билл (родился в 1908). В течение почти 20 лет он неоднократно обращался к листу Мёбиуса, стремясь выразить в скульптуре идею вечного движения и развёртывающейся в пространстве формы. Скульптура «Узел без конца» находится в музее современного искусства в Париже. [5] Немецкий математик Феликс Клейн в 1882г. построил ещё одну одностороннюю поверхность, но уже замкнутую, которую в честь него назвали бутылкой Клейна (приложение 3, рис.2, рис.3).

Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мебиуса и приобретает удивительные свойства.

Описывая лист Мёбиуса и процесс его изготовления, раскрывая опытным путём свойства этого поразительного открытия, мое предположение подтвердилось: лента Мёбиуса обладает не только свойством односторонности, но и такими, действительно, неожиданными свойствами, как непрерывность и связность.

Предварительный просмотр:

Открытая конференция «Исследователь нового века»

Секция: юный исследователь

Загадки ленты Мёбиуса

ученик 6б класса

МБОУ СОШ № 34 г. Ижевска

Сюткина Надежда Михайловна,

Учитель математики МБОУ СОШ №34

«Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому».

Все мы уже настолько привыкли к обилию фантастических фильмов, что никого не удивляют термины «телепортация», «другое измерение», «многомерное пространство». Наверное, даже школьник на вопрос: в каком мире мы живем? - ответит в трехмерном. А ведь мы настолько привыкли не замечать окружающее нас, что если кому-либо сказать, что в нашем трехмерном пространстве существуют двумерные предметы, то есть шанс быть просто непонятым. А ведь такие предметы, действительно, есть.

Это так называемый «лист Мёбиуса», или «лента Мёбиуса» – весьма простая и в то же время весьма странная конструкция. Лента Мёбиуса — это и наука, и мистика одновременно. Хотя бы потому, что… «вот оно, смотрите, я сам его склеил, всё просто, но всё равно непонятно — две стороны, одна сторона…». Те, кто изучают геометрию, знают о ленте предостаточно. А кто не изучает — всё равно сталкивается с Мёбиусом почти каждый день.

Таким образом, вокруг нас много интересного и непознанного. Данная лента даёт объяснение многим процессам: историческим, биологическим, эволюционным и другим. Главное, уметь пользоваться этими знаниями.

Если взять транспортную или эскалаторную ленты, а они устроены по принципу ленты Мёбиуса, то, очевидна экономия технических средств за счет уменьшения их износа. А эта проблема, проблема экономии, является одной из самых актуальных проблем современности. Поэтому, автор считает изучение принципа действия и свойств данной ленты интересным и необходимым для применения во многих областях деятельности человека и науки.

Объект исследования: лента Мёбиуса.

Предмет исследования: свойства ленты Мёбиуса.

Цель работы: определить и опытно–экспериментальным путём проверить свойства ленты Мёбиуса.

Изучить литературные источники по данной проблеме.
Познакомиться с историей появления ленты Мёбиуса.
Установить области применения ленты Мёбиуса.
Выявить и исследовать свойства ленты Мёбиуса.
Установить практическое значение ленты Мёбиуса.

Гипотеза исследования: лист Мёбиуса, изобретённый в 19 веке, не потерял своей актуальности и в 21 веке.

Методы исследования: в данной работе были использованы теоретический и экспериментальный методы.

Структура. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка источников, приложения.

1.1. Август Фердинанд Мёбиус: биография и открытие «Волшебной ленты»

Август Фердинанд Мёбиус родился на территории княжеской школы Шульпфорте, близ Наумбурга . Его отец занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса была потомком Мартина Лютера.

Отец умер, когда мальчику было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу выказал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в колледже Шульпфорте, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. Биографы предполагают, что в этом выборе сказалось влияние преподававшего там известного астронома и математика Карла Брандана Моллвейде .

В 1813—1814 годах Мёбиус жил в Гёттингене , где посещал университетские лекции Гаусса по астрономии. Затем он уехал в Халле , чтобы прослушать курс лекций математика Иоганна Пфаффа, учителя Гаусса. В результате Мёбиус получил глубокие знания по обеим наукам.

Когда Август Мёбиус работал над докторской (1815), была сделана попытка призвать его в прусскую армию. С трудом избежав этой угрозы, он успешно получил докторское звание. В это время Моллвейде перешёл на кафедру математики и рекомендовал Мёбиуса на освободившуюся кафедру астрономии в Лейпциге, экстраординарным профессором.

С 1816 года он также работал сначала астрономом-наблюдателем, затем директором в Плейсенбургской астрономической обсерватории (близ Лейпцига ). Деятельно участвовал в перестройке и оснащении обсерватории.

1820 году Мёбиус женится. У него родились два сына и дочь. В 1825 году Карл БранданМоллвейде умер. Август Мёбиус попытался занять его место, но его репутация преподавателя была неважной, и университет предпочёл другую кандидатуру. Однако, узнав, что Мёбиус получил приглашения из других университетов, руководство повысило его в должности до ординарного профессора астрономии. К этому времени математические исследования Мёбиуса принесли ему известность в научном мире.[2.2]

В 1858 году в возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей. Данное открытие считается, стало возможным в результате разных событий. Есть три версии:

Открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.
Виноват во всём портной, который неправильно вшил манжет рубашки.
Придумал ленту Мёбиус, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.

В дальнейшем, Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.[2.1]

После чего, лента Мёбиуса получила широкое распространение и стала применяться во многих направлениях человеческой деятельности. Таким образом, нет почти ни одной области, человеческой деятельности, где бы она не применялась.

Области применения листа Мёбиуса:

Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты равномерно изнашивается.
В системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).
В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

Она играет роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно взведённая пружина срабатывает в противоположном направлении. Лист Мёбиуса же, вопреки всем законам, направление срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями.
Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста. А также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).
При помощи ленты Мёбиуса создают целые шедевры. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса.
Мёбиусовый лист понравился не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. [2.7]

1.2. Лента Мёбиуса: сущность, гипотезы…

Всем известно, что наш мир имеет три измерения, что Земля вращается вокруг Солнца, что любая поверхность имеет две стороны: верхнюю и нижнюю… А вот и не любая. Потому что, оказывается, существуют поверхности, которые имеют только одну сторону, и это научно доказано. Созданная столь простым способом лента обнаруживает весьма сложные свойства односторонних поверхностей.Лист Мёбиуса относится к числу «математических неожиданностей», иногда его называют прародителем символа бесконечности. Поэтому лист Мёбиуса является моделью, на которой проводится множество серьёзных математических исследований. [1.4]

Существует целая область математики, которая называется «топология».

Топология - (греч. «топос» — место и «логос» — наука) - «геометрия положения», часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела), а лист Мёбиуса – это один из нескольких топологических объектов. [2.6]

Лист Мёбиуса – это простейшая не ориентируемая поверхность с одним краем и одной стороной.

У этого листа есть удивительные свойства: он имеет один край, одну сторону. Данные свойства не связаны с его положением в пространстве, с понятием расстояния, угла и, тем не менее, они имеют геометрический характер. Свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны с наиболее абстрактными математическими дисциплинами - алгеброй и теорией функций. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые, не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины). С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и тоже. Сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину. [2.3]

Знаком Мёбиуса обозначается бесконечность. Действительно, по ленте Мёбиуса можно двигаться непрерывно и бесконечно, вечно пребывая на её единственной стороне.Но это лишь пространственное представление непрерывности и бесконечности. В ритмологическом ключе знак ленты Мёбиуса приобретает иное наполнение.Есть ритмы, благодаря которым человек развивает своё энергетическое, сердечное начало, и есть ритмы, обеспечивающие раскрытие нашего мозга, наших информационных возможностей.Дабы эти противоположные начала развивались в нас равновелико и гармонично, между «энерго» - ритмами и «информо»-ритмами разместились ритмы Мёбиусного вихря. Благодаря им, мы имеем возможность непрерывно и бесконечно перемещаться от сердца к мозгу, от информации к энергии. Сохраняя при этом баланс между планетарной и человеческой сторонами жизни. Ритмы Мёбиусного вихря позволяют нам совершать своеобразный «обмен» энергии на информацию и наоборот. [2.5]

Помимо этого, подтверждением того, что лента Мёбиуса прочно вошла в жизнь человека, говорит тот факт, что через призму её свойств объясняются некоторые процессы и в других областях наук. Есть гипотезы о том, что:

Наша Вселенная выглядит как лист Мёбиуса, у нее нет начала и конца, согласно теории относительности – чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью согласуется с теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль, все время летящий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной. [1.1]
Спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Или аннигиляция, как подтверждают физики. Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника. [1.2]

Существует целая область математики, которая называется «топология». Т опологические объекты окружают нас повсюду. Хотя наука топология является относительно молодой наукой, проблемы, которые исследуются в ней, пронизывают многие области знаний.

Таким образом, лист Мёбиуса случайно открытый ещё 19 веке, активно используется и в 21 веке во многих областях. Созданная столь простым способом лента обнаруживает весьма сложные свойства односторонних поверхностей. Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям, которые применяются и используются сейчас в технике, физике, оптике, математических науках.

Исследовательская часть работы состоит из 2-х групп опытов, чтобы экспериментальным путем узнать свойства ленты Мёбиуса – её односторонность.

Для того, чтобы провести исследование автору было необходимо изготовить ленту Мебиуса. Для этого понадобилась прямоугольная полоска перекрученная на 180 градусов со склеенными противоположными сторонами АВ и А*В*, то есть так что совместятся точки А и В* и точки А* и В. (Рисунок №1)

Чтобы изучить свойства листа Мёбиуса (Приложение №1, Фото №1), было проведено несколько опытов, которые были разделены на две группы.

I группа опытов:

Мы привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которыми имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) две стороны.

Раскрасим ленту Мёбиуса, не переворачивая её - лента Мёбиуса закрасится полностью (Приложение №1, Фото №2).[2.4]

Изготовим из бумаги паука и муху и отправим «гулять» по обыкновенному кольцу, но запретим им переползать границы.

Результат. Паук не сможет добраться до мухи.[2.4]

Отправим этих паука и муху только уже по ленте Мёбиуса, и запретим им переползать через границу. (Рисунок № 2)

Следующая загадка

Главная Вторник, 10 Ноябрь 2015 18:04

Следующая загадка

Существуют научные знания и явления, которые привносят в обыденность нашей жизни тайну и загадку. Лента Мебиуса относится к ним в полной мере.

Современная математика замечательно описывает при помощи формул все ее свойства и особенности. А вот обычные люди, слабо разбирающиеся в топонимике и других геометрических премудростях, практически ежедневно сталкиваются с предметами, изготовленными по ее образу и подобию, даже не подозревая об этом.

Загадки ленты Мёбиуса

Что может быть интереснее и увлекательнее, чем сделать что-либо своими руками и понять, что сложное может быть весьма простым и доступным?

17 ноября 2015 года исполняется 225 лет со дня рождения немецкого математика, механика, астронома Августа Фердинанда Мёбиуса.

С помощью подобного занятия учитель сможет создать педагогические условия для формирования пространственного воображения обучающихся и развития познавательного интереса к экспериментам.

Материалы занятия содержат презентацию, рабочие листы и подробный сценарий проведения занятия.

Авторы: Е.В. Зеленова, Т.В. Новикова, М.Ю. Осипова, Г.В. Самойлик, Е.А. Яницкая.

Следующая загадка

Цель исследования : определить и опытно–экспериментальным путём проверить свойства ленты Мёбиуса.

Задачи исследования :

Изучить литературные источники по данной проблеме.

Познакомиться с историей появления ленты Мёбиуса.

Установить области применения ленты Мёбиуса.

Выявить и исследовать свойства ленты Мёбиуса.

Установить практическое значение ленты Мёбиуса.

Гипотеза : лист Мёбиуса, изобретенный в 19 века, не потерял своей актуальности и в 21 веке.

Объект исследования: лента Мёбиуса

Предмет исследования : свойства ленты Мёбиуса

Для того, чтобы провести исследование автору было необходимо было изготовить ленту Мебиуса. Для этого понадобилась прямоугольная полоска перекрученная на 180 градусов со склеенными противоположными сторонами АВ и А*В*, т.е. так что совместятся точки А и В* и точки А* и В.

В I группе опытов автор подтвердил свойство односторонности листа Мёбиуса.

II группа опытов:

Опыт №1. Разрезание простого кольца вдоль по середине

Получим два простых кольца, такой же длины, шириной в два раза уже, с двумя границами.

Опыт №2 . Разрезание ленты Мёбиуса вдоль посередине.

Получим 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот, с одной границей.

Опыт №3. Разрезание ленты Мёбиуса шириной 5см разрежем вдоль на расстоянии 1см от края.

Получим два сцепленных друг с другом кольца: 1) лента Мёбиуса - длина = длине исходного, ширина 3см; 2) ширина 1см, длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота, с двумя границами.

Опыт №4. Разрезание ленты Мёбиуса шириной 5см разрежем вдоль на расстоянии 3см от края.

Получим два сцепленных друг с другом кольца:1) кольцо – лист Мёбиуса шириной 1см такой же длины; 2) кольцо – шириной 2см длина его в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота.

Опыт №5. На обеих сторонах бумажной ленты проведем две пунктирные линии, на равном расстоянии друг от друга, склеим лист Мёбиуса, разрежем вдоль пунктирных линий.

Получим два сцепленных друг с другом кольца: 1) кольцо - в два раза длиннее исходного, ширина в три раза меньше; исходного, два раза перекрученное;2) кольцо - лист Мёбиуса длина = длине исходного, ширина в три раза меньше исходного, с двумя границами.

Результат. Лист Мебиуса – это односторонняя поверхность и он изменяет свои свойства при разрезании.

Лист Мёбиуса - это односторонняя поверхность, уникальность нет других объектов с такими свойствами. Уже сегодня удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях. Многие ученые в своих изобретениях использовали принцип ленты Мёбиуса.

Таким образом, гипотеза подтвердилась. Лист Мёбиуса, изобретенный в19 веке, не потерял своей актуальности и в 21 веке.

Вложение	Размер
rabota_na_npk_6_klass_po_matematike.docx	126.99 КБ

Что это такое? Кто и когда ее открыл?

Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, – это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве. Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.

Такой непростой объект, как лента Мебиуса, был и открыт довольно необычно. Прежде всего отметим, что два математика, абсолютно не связанные между собой в исследованиях, открыли ее одновременно – в 1858 году. Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика — Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Так, вплоть до 1858 года считалось, что любая поверхность обязана иметь две стороны. Однако Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описывают его свойства. Лента была названа в честь Мебиуса, а вот отцом-основателем «резиновой геометрии» топологи считают Листинга и его труд «Предварительные исследования по топологии».

Свойства

Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:

1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю – другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.

2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.

3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.

4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.

5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер – 6, а вот кольцо из бумаги – 5.

Научное использование

Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств.

Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная — это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.

Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти – замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта.

По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение - это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.

Реализация на практике

В различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий изобретатель Никола Тесла в начале века изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 1800 проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех.

На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.

Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.

Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них - это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.

Источник творческого вдохновения

Лента Мебиуса и ее свойства легли в основу творчества многих художников, писателей, скульпторов и кинематографистов. Самый известный художник, использовавший в таких своих работах, как «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)», «Всадники» и «Узлы», ленту и ее особенности — Мауриц Корнелис Эшер.

Листы Мебиуса, или, как их еще называют, поверхности минимальной энергии, стали источником вдохновения для математических художников и скульпторов, например, Брента Коллинза или Макса Билла. Самый известный памятник ленте Мебиуса установлен у входа в вашингтонский Музей истории и техники.

Русские художники также не остались в стороне от этой темы и создали свои работы. Скульптуры «Лента Мебиуса» установлены в Москве и Екатеринбурге.

Литература и топология

Необычные свойства поверхностей Мебиуса вдохновили многих писателей на создание фантастических и сюрреалистических произведений. Петля Мебиуса играет важную роль в романе Р. Желязны «Двери в песке» и служит как средство перемещения сквозь пространство и время для главного героя романа «Некроскоп» Б. Ламли

Фигурирует она и в рассказах «Стена темноты» Артура Кларка, «На ленте Мебиуса» М. Клифтона и «Лист Мебиус» А. Дж. Дейча. По мотивам последнего режиссером Густаво Москера был снята фантастическая кинокартина «Мебиус».

Делаем сами, своими руками!

Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:

1. Для изготовления ее модели потребуются:

- лист обычной бумаги;

2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.

3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 1800 так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.

4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.

Лента Мебиуса готова.

5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.

Понравилась статья? Напишите свое мнение в комментариях.
Подпишитесь на наш ФБ:

Читайте также: