3 дома 3 колодца загадка решение

Обновлено: 24.12.2024

В 2007 году исполнится 300 лет со дня рождения Леонарда Эйлера – одного из величайших математиков, работы которого оказа­ли решающее влияние на развитие многих современных разделов математи­ки. Л. Эйлер был действительным членом Петербургской Академии наук, оказал большое влияние на развитие отечественной математической школы и в деле подготовки кадров ученых-математиков и педагогов в России. Поражает своими размерами научное наследие ученого. При жизни им опуб­ликовано 530 книг и статей, а сейчас их известно уже более 800. Причем последние 12 лет своей жизни Эйлер тяжело болел, ослеп и, несмотря на тяжелый недуг, продолжал работать и творить. Статистические подсчеты показывают, что Эйлер в среднем делал одно открытие в неделю. Трудно найти математическую проблему, которая не была бы затронута в произве­дениях Эйлера. Все математики последующих поколений так или иначе учи­лись у Эйлера, и недаром известный французский ученый П.С. Лаплас ска­зал: "Читайте Эйлера, он – учитель всех нас".

С именем Эйле­ра, является задача о трех домиках и трех колодцах.

Задача. Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересека­ющиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу (рис. 1)?

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой, доказанной Эйлером в 1752 году.

Теорема. Если многоугольник разбит на конечное число многоугольников так, что любые два многоугольника разбиения или не имеют общих точек, или имеют общие вершины, или имеют общие ребра, то имеет место равенство

где В - общее число вершин, Р - общее число ребер, Г - число многоугольников (граней).

Доказательство. Докажем, что равенство (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ (рис. 2, а).

Действитель­но, после проведения такой диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребер и количество многоугольников увеличится на единицу. Следовательно, имеем

В - (Р + 1) + (Г+1) = В – Р + Г.

Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие входя­щие многоугольники на треугольники, и для полученного разбиения пока­жем выполнимость соотношения (*) (рис. 2, б). Для этого будем последо­вательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника ABC требуется снять два ребра, в на­шем случае AB и BC;

б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае MN.

В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника граф будет состоять из В-1 вершин, Р-2 ребер и Г-1 многоугольника:

(В - 1) - (Р + 2) + (Г -1) = В – Р + Г.

Самостоятельно рассмотрите второй случай.

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенства (*). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого раз­биения В = 3, Р = 3, Г = 1 и, следовательно, B - Р + Г= 1. Значит, равенство (*) имеет место и для исходного разбиения, откуда оконча­тельно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо соотношение (*).

Заметим, что соотношение Эйлера не зависит от формы многоугольников. Многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать или даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Соотношение Эйлера при этом не изменится.

Приступим теперь к решению задачи о трех домиках и трех колодцах.

Решение. Предположим, что это можно сделать. Отметим домики точками Д1, Д2, Д3, а колодцы - точками К1, К2, К3 (рис. 1). Каждую точку-домик соединим с каждой точкой-колодцем. Получим девять ребер, которые попарно не пересекаются.

Следующая загадка

Q: Задача Эйлера. Три соседа поссорились. Все три имеют по колодцу. Возможно ли проложить тропинки от дома каждого соседа к каждому колодцу так, чтобы эти тропинки не пересекались?

A: В двухмерном пространстве невозможно соединить три колодца тропинками так, чтобы они не пересекались.

Теорема имеет непросредственное отношение к теории графов. Решений за 300 лет, прошедших с формулировки задачи о колодцах, нашли не одно - вот пара:

1. заключается в рассмотрении трех вариантов, остающихся после проведения 8ми тропинок.

Решение: Обозначим вершины графа А, B, C, 1, 2, 3 соответственно трем домикам и колодцам формулировки задачи, и докажем, что девятую дорогу - ребро графа, не пересекающюю другие ребра, провести невозможно.

Проведенные в графе ребра А-1, А-2, A-3 и В-1, В-2, В-З (соответствующие дорожкам от домиков А и В ко всем трем колодцам) . Построенный таким образом граф разделил рабочую плоскость на 3 области: X, У, Z. Вершина B, в зависимости от ее расположения на плоскости, попадает в одну из таких 3х областей. Если рассмотреть каждый из 3х случаев «попадания» вершины B в одну из областей X, Y, Z - то увидите, что всякий раз какая-нибудь одна из вершин графа 1, 2 или 3 (или один из колодцев "соседей") получится недоступной для построения дороги от вершины B (т. е. невозможно будет построить одно из ребер B1, B2 или B3. которое не пересекло бы уже имеющиеся в графе ребра) . Соответственно - ответ - нельзя!

2.основываясь на соотношении того же Эйлера для многоугольников

Решение: Предположим, что эти 9 тропинок можно проложить. Обозначим домики точками H1, H2, H3,колодцы - точками C1, C2, C3. Каждую точку-дом соединим с каждой точкой-колодцем. Получились ребра (графа) в количестве девяти штук, которые попарно не пересекаются. Такие ребра образуют на рассматриваемой плоскости задачи многоугольник, поделенный на меньшие многоугольники. Для такого разбиения должно выполняться известное соотношение Эйлера B - P + G = 1. Добавляем к рассматриваемым граням еще одну - внешнюю часть плоскости относительно рассматриваемомого многоугольника. Тогда соотношение Эйлера примет вид B - P + G = 2, причем B = 6 и P = 9. Получается, G = 5. Каждая из пяти граней имеет по крайней мере четыре ребра, так как, по условию задачи Эйлера, ни одна из дорожек не должна напрямую соединять два колодца или два дома. Так как любое ребро лежит ровно в 2х гранях, то кол-во ребер графа должно быть не меньше 5*4/2 = 10. Это противоречит условию исходной задачи, по которому их число равно девять! Полученное противоречие доказывает, что ответ в задаче о 3х колодцах Эйлера отрицателен.

Решение "можно" получается при переходе в трехмерное пространство, либо при вспоминании того факта, что Земля - круглая, либо "замараживании" высокого уровня воды в одном из колодцев и предположения что по льду можно ходить, либо при "строительстве" мостов, туннелей и т. п. .

Следующая загадка

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой, доказанной Эйлером в 1752 году, которая является одной из основных в теории графов. Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру (1736 год) , хотя термин «граф» впервые ввел в 1936 году венгерский математик Денеш Кениг. Графами были названы схемы, состоящие из точек и соединяющих эти точки отрезков прямых или кривых.

Теорема. Если многоугольник разбит на конечное число многоугольников так, что любые два многоугольника разбиения или не имеют общих точек, или имеют общие вершины, или имеют общие ребра, то имеет место равенство

где В - общее число вершин, Р - общее число ребер, Г - число многоугольников (граней) .

Доказательство. Докажем, что равенство (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ (рис. 2, а) .
Действительно, после проведения такой диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребер и количество многоугольников увеличится на единицу. Следовательно, имеем

В - (Р + 1) + (Г+1) = В – Р + Г.

Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие входящие многоугольники на треугольники, и для полученного разбиения покажем выполнимость соотношения (*) (рис. 2, б) .

Для этого будем последовательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая:
для удаления треугольника ABC требуется снять два ребра, в нашем случае AB и BC;
для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае MN.

В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника граф будет состоять из В-1 вершин, Р-2 ребер и Г-1 многоугольника:

(В - 1) - (Р + 2) + (Г -1) = В – Р + Г.

Самостоятельно рассмотрите второй случай.

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенства (*).

Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого разбиения В = 3, Р = 3, Г = 1 и, следовательно, B - Р + Г= 1.

Значит, равенство (*) имеет место и для исходного разбиения, откуда окончательно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо соотношение (*).

Заметим, что соотношение Эйлера не зависит от формы многоугольников. Многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать или даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Соотношение Эйлера при этом не изменится.

Приступим теперь к решению задачи о трех домиках и трех колодцах.

Решение. Предположим, что это можно сделать. Отметим домики точками Д1, Д2, Д3, а колодцы - точками К1, К2, К3 (рис. 1). Каждую точку-домик соединим с каждой точкой-колодцем. Получим девять ребер, которые попарно не пересекаются.

Эти ребра образуют на плоскости многоугольник, разделенный на более мелкие многоугольники. Поэтому для этого разбиения должно выполняться соотношение Эйлера В - Р + Г= 1.

Добавим к рассматриваемым граням еще одну - внешнюю часть плоскости по отношению к многоугольнику. Тогда соотношение Эйлера примет вид В - Р + Г = 2, причем В = 6 и Р = 9.

Следовательно, Г = 5. Каждая из пяти граней имеет по крайней мере четыре ребра, поскольку, по условию задачи, ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два колодца. Так как каждое ребро лежит ровно в двух гранях, то количество ребер должно быть не меньше (5•4)/2 = 10, что противоречит условию, по которому их число равно 9.

Полученное противоречие показывает, что ответ в задаче отрицателен - нельзя

Следующая загадка

.

Читайте также: