Определить вероятность того что случайная величина примет значение больше ожидаемого
Обновлено: 17.05.2024
Определение непрерывной случайной величины и её связь с вероятностью
Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любое значение из какого-либо ограниченного или неограниченного интервала. Для непрерывной случайной величины невозможно указать все возможные значения, поэтому обозначают интервалы этих значений, которые связаны с определёнными вероятностями.
Примерами непрерывных случайных величин могут служить: диаметр детали, обтачиваемой до заданного размера, рост человека, дальность полёта снаряда и др.
Так как для непрерывных случайных величин функция F(x), в отличие от дискретных случайных величин, нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.
Это значит, что для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении вероятностей между её значениями: каждое из них имеет нулевую вероятность. Однако в некотором смысле среди значений непрерывной случайной величины есть "более и менее вероятные". Например, вряд ли у кого-либо возникнет сомнение, что значение случайной величины - роста наугад встреченного человека - 170 см - более вероятно, чем 220 см, хотя и одно, и другое значение могут встретиться на практике.
Функция распределения непрерывной случайной величины и плотность вероятности
В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин, вводится понятие плотности распределения или плотности вероятности. Подойдём к нему путём сравнения смысла функции распределения для непрерывной случайной величины и для дискретной случайной величины.
Итак, функцией распределения случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х.
Для дискретной случайной величины в точках её значений x 1 , x 2 , . x i . сосредоточены массы вероятностей p 1 , p 2 , . p i . , причём сумма всех масс равна 1. Перенесём эту интерпретацию на случай непрерывной случайной величины. Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно "размазана" по оси абсцисс Оx с какой-то неравномерной плотностью. Вероятность попадания случайной величины на любой участок Δx будет интерпретироваться как масса, приходящаяся на этот участок, а средняя плотность на этом участке - как отношение массы к длине. Только что мы ввели важное понятие теории вероятностей: плотность распределения.
Плотностью вероятности f(x) непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения:
Зная функцию плотности, можно найти вероятность того, что значение непрерывной случайной величины принадлежит закрытому интервалу [a; b]:
вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала [a; b], равна определённому интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b:
При этом общая формула функции F(x) распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которой можно пользоваться, если известна функция плотности f(x) :
График плотности вероятности непрерывной случайной величины называется её кривой распределения (рис. ниже).
Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a и b перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох, графически отображает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины Х находится в пределах от a до b.
Свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины
1. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала (и площадь фигуры, которую ограничивают график функции f(x) и ось Ох) равна единице:
2. Функция плотности вероятности не может принимать отрицательные значения:
а за пределами существования распределения её значение равно нулю
Плотность распределения f(x), как и функция распределения F(x), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения, она не универсальна: плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.
Упомянем о двух важнейших в практике видах распределения непрерывной случайной величины.
Если функция плотности распределения f(x) непрерывной случайной величины в некотором конечном интервале [a; b] принимает постоянное значение C, а за пределами интервала принимает значение, равное нулю, то такое распределение называется равномерным.
Если график функции плотности распределения симметричен относительно центра, средние значения сосредоточены вблизи центра, а при отдалении от центра собираются более отличающиеся от средних (график функции напоминает разрез колокола), то такое распределение называется нормальным.
Пример 1. Известна функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:
Найти функцию f(x) плотности вероятности непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 4 до 8: .
Решение. Функцию плотности вероятности получаем, находя производную функции распределения вероятностей:
График функции F(x) - парабола:
График функции f(x) - прямая:
Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 4 до 8:
Пример 2. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины дана в виде:
Вычислить коэффициент C . Найти функцию F(x) распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 0 до 5: .
Решение. Коэффициент C найдём, пользуясь свойством 1 функции плотности вероятности:
Таким образом, функция плотности вероятности непрерывной случайной величины:
Интегрируя, найдём функцию F(x) распределения вероятностей. Если x < 0 , то F(x) = 0 . Если 0 < x < 10 , то
Таким образом, полная запись функции распределения вероятностей:
Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 0 до 5:
Пример 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана равенством , при этом . Найти коэффициент А, вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения непрерывной случайной величины X.
Решение. По условию приходим к равенству
Следовательно, , откуда . Итак,
Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[:
Теперь получим функцию распределения данной случайной величины:
Пример 4. Найти плотность вероятности непрерывной случайной величины X, которая принимает только неотрицательные значения, а её функция распределения .
Решение. По определению плотности вероятности получаем
при и при , поскольку F(x) для этих значений x постоянна (равна нулю).
Пример 5. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана формулой:
(a - положительный коэффициент).
1) найти функцию распределения непрерывной случайной величины;
2) найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, лежащее между 1 и 2.
1) При x < 0 f(x) = 0 , значит . При x > 0 . Первый интеграл равен нулю. Второй . Итак, функция распределения данной непрерывной случайной величины имеет вид:
2) вероятность попадания непрерывной случайной величины на участок между 1 и 2 вычислим как приращение функции распределения на этом участке:
Пример 6. Непрерывная случайная величина имеет плотность
1) найти вероятность попадания непрерывной случайной величины на участок от 0 до π/4;
2) функцию распределения непрерывной случайной величины.
1) находим вероятность:
2) находим функцию распределения непрерывной случайной величины:
Пример 7. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана формулой
Найти вероятность попадания непрерывной случайной величины на участок (-1; +1)
Ответ на этот вопрос состоит всего лишь из 2 слов: с помощью интегралов. Приветствую тех, кто подтянулся с поисковика – вы попали на 2-ю часть урока о непрерывной случайной величине (НСВ), и если что-то будет не понятно, милости прошу по ссылкам.
Сам смысл математического ожидания и дисперсии мы уже разбирали ранее (но, конечно, повторим), и сейчас настало время узнать, как они определяются для НСВ. Всё очень просто: по аналогии с ДСВ. Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется, как несобственный интеграл:
, где – функция плотности распределения этой случайной величины.
Примечание: несложный вывод этой формулы можно найти, например, в учебном пособии В.Е. Гмурмана
Дисперсия тоже имеет «знакомые очертания»: (по определению), но в практических задачах гораздо удобнее применять формулу:
Как и в случае с дискретной случайной величиной, она не может быть отрицательной!
И среднее квадратическое отклонение вычисляется точно так же:
Итак, все инструменты в руках и мы с энтузиазмом приступаем к работе учёбе любимому делу:
…нет, это не опечатка – пример уже 7-й!
Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей:
Вычислить . И построим ещё графики и , ну а куда же без них?
Решение начнём с графика функции распределения. При его ручном построении удобно найти промежуточное значение и аккуратно провести кусок кубической параболы :
Повторяем: функция распределения описывает вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , «пробегающая» все значения от до . Данная функция изменяется в пределах и не убывает (т. к. «накапливает» вероятности), а также является непрерывной (для НСВ).
Очевидно, что случайная величина принимает случайные значения из отрезка , и какие из них более вероятны, а какие – менее, наглядно показывает функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей:
И снова опорные точки: с немедленным чертёжом:
В отличие от функции плотности может быть разрывна и может принимать значения бОльшие единицы (как в нашем случае); может, как убывать, так и возрастать и даже иметь экстремумы (наш кусок параболы растёт). Однако, она неотрицательна: и обладает свойством , которое лучше всегда проверять (а то мало ли, опечатка или ошибка). В силу аддитивности интеграла:
– данный результат равен заштрихованной площади и с вероятностной точки зрения означает тот факт, что случайная величина достоверно примет одно из значений отрезка . Причём, по чертежу хорошо видно, что значения из правой части отрезка гораздо более вероятны, чем значения слева.
И эти вероятности оцениваются кусками площади, а не значениями функции . (окончательно избавляемся от распространённой иллюзии)
Ради интереса вычислим:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка
Теперь числовые характеристики. Очевидно, что математическое ожидание (среднеожидаемое значение) случайной величины должно находиться в «живом» отрезке, причём – ближе к его правому концу (поскольку там выше плотность вероятности). Убедимся в этом аналитически. По формуле вычисления математического ожидания, и в силу того же свойства аддитивности:
– ну что же, вполне и вполне правдоподобно, результат я отметил красной точкой на чертеже.
! Примечание: в общем случае (и в этом, в частности) не делит площадь на 2 равные части!
Если промежуток конечен, то можно сразу записывать, что матожидание равно определённому интегралу:
Дисперсию (меру рассеяния случайных значений относительно ) вычислим по формуле:
Сначала удобно разобраться с интегралом, здесь я не буду расписывать подробно:
И, наконец, среднее квадратическое отклонение:
Самостоятельно по чертежу оцените, что на интервале сконцентрирована значительная часть площади – образно говоря, тут находится «гуща событий».
Вот такое вот у нас получилось захватывающее повторение-изучение-исследование!
И коль скоро спрашивалось немного, запишем:
Ответ:
Строго говоря, ответ следовало записывать и в предыдущих задачах, но когда пунктов много, то итоговые результаты вполне допустимо помечать по ходу решения, например, подчёркивать или обводить карандашом. Однако на моей памяти встречались и строгие рецензенты, которые требовали всё оформлять «по высшему разряду».
Следующее задание для самостоятельного решения:
Дана функция:
Представить в аналитическом виде и показать, что она может служить плотностью вероятностей непрерывной случайной величины . Вычислить и .
Да, бывает и так! – вспоминаем уравнение прямой на плоскости. Краткое решение и ответ в конце урока.
Зачастую вычисление математического ожидания и дисперсии сопряжено с техническими трудностями, и заключительные примеры урока будут посвящены их преодолению:
Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения .
Найти: …, прямо так и хочется добавить ещё, но в жуткой борьбе с самим собой я остановился, чтобы сосредоточиться на главном =)
Решение: найдём коэффициент . Согласно свойству :
интеграл здесь табличный, и значения арксинуса «хорошие»:
Таким образом:
и функция плотности распределения:
Проверочка: , ч.т.п., и не забываем проконтролировать, что .
Но, в принципе, тут можно не полениться и подвести функцию под знак дифференциала:
Интересно отметить, что математическое ожидание «разделило» вероятности (единичную площадь под функцией плотности) на 2 равные части:
Но, как я примечал выше, в общем случае это не так. Здесь это получилось по причине чётности и «симметричных» вероятностей. Также обратите внимание на то, что наша функция достигает минимума в точке и около этого значения сконцентрированы наименее вероятные значения случайной величины. Впрочем, распределение вероятностей близкО к равномерному.
Поскольку математическое ожидание равно нулю, то дисперсию удобно вычислить «одной строкой». Используем формулу и чётность подынтегральной функции:
Здесь сразу же удобно провести замену переменной, о которой я рассказывал в Примере 4 урока об эффективных методах решения интегралов:
Найдём новые пределы интегрирования. Если , то и:
…мда, хороший вышел каламбур на счёт одной строки :), продолжаем:
Результат получился положительным, и это уже хороший знак. Тем не менее, не помешает выполнить косвенную проверку и вычислить среднее квадратическое отклонение:
– ну что же, вполне и вполне реалистично, ещё раз взгляните на чертёж и мысленно отмерьте от влево/вправо 0,6.
А вот если бы отклонение вышло равным 1, 2 или бОльшему числу, то это говорило бы о явной ошибке.
Ответ:
Существует более трудная вариация рассмотренной функции
– с двумя вертикальными асимптотами в точках разрыва и сходящимся несобственным интегралом. Такие задачи предлагают даже студентам-заочникам, но я не стал маньячить, и поместил похожий пример в библиотеку для самостоятельного изучения.
Всё хорошо в меру:
Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения:
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
Вспоминаем интегрирование по частям, при этом, чтобы не запутаться, лучше придерживаться известного алгоритма: сначала находим неопределенный интеграл, затем проверяем первообразную дифференцированием, и только потом используем формулу Ньютона-Лейбница.
В целях самоконтроля полезно построить график плотности и отложить на чертеже математическое ожидание, затем найти дисперсию и оценить «правдоподобность» стандартного отклонения.
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:
Найти и . Составить функцию распределения и построить графики . Вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение, бОльшее, чем её математическое ожидание.
Нахождение функции распределения как-то так затерялось в последних задачах, и поэтому самое время освежить в памяти формулу . И, кстати, перед вами пример непрерывной случайной величины с бесконечной дисперсией. Да, так бывает! Но удивляться тут не нужно – потому что бывают и более интересные случаи. …Я знал, что вы соскучились =)
Решения и ответы совсем близко. Для желающих предлагаю более трудное задание с функцией , где нужно расписать модуль (свериться можно здесь же).
И предчувствие вас не обмануло! Точно так же, как и в дискретном случае, у непрерывной случайной величины есть особые виды распределений, самые популярные из которых рассмотрены в следующих статьях:
+ тематический pdf-решебник с десятками готовых задач, но это уже когда нагуляете аппетит :)
Решения и ответы:
Пример 8. Решение: представим в аналитическом виде. Составим уравнение прямой по точкам и :
Таким образом:
Примечание: верхние неравенства можно записать и так: , в условии нет однозначной инструкции на этот счёт.
Покажем, что может служить плотностью вероятностей НСВ :
1) функция на всей числовой прямой;
2)
Таким образом, может служить плотностью вероятностей непрерывной случайной величины
Вычислим математическое ожидание:
Дисперсию вычислим по формуле:
В данном случае:
Таким образом:
Среднее квадратическое отклонение:
Пример 10. Решение: найдем коэффициент . В силу непрерывности функции распределения:
Таким образом:
Найдем функцию плотности распределения:
Вычислим математическое ожидание:
Интегрируем по частям:
Построим график плотности распределения и отметим на оси математическое ожидание, значение которого получилось весьма правдоподобным:
Дисперсию вычислим по формуле:
В данном случае:
Сначала найдём неопределённый интеграл:
Вычислим определённый интеграл:
Вычислим среднее квадратическое отклонение:
По чертежу хорошо видно, что на интервале сконцентрирована значительная плотность вероятности, что служит косвенным подтверждением правильности вычислений.
Пример 11. Решение: найдём коэффициент . Используем свойство .
В данном случае:
Вычислим несобственный интеграл:
Таким образом:
и функция плотности распределения:
Вычислим математическое ожидание:
Дисперсию вычислим по формуле:
в данном случае:
, откуда следует, что .
Функцию распределения вероятностей найдём по формуле :
1) на интервале и ;
2) на промежутке , следовательно:
Таким образом:
Выполним чертежи:
Вычислим
– вероятность того, что случайная величина примет значение, бОльшее, чем её математическое ожидание.
Примечание: так как случайная величина теоретически может принимать сколь угодно большие значения, то такое смещение вполне закономерно.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
О непрерывной случайной величине (НСВ) я неоднократно упоминал в предыдущих статьях, и поэтому, если вы зашли с поисковика и/или не совсем в теме, то начните с первого урока о случайных величинах. После чего продолжаем и сразу вспоминаем разницу:
– В отличие от дискретной случайной величины, НСВ может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы (т.к. действительных чисел несчётно много). В этой связи непрерывную случайную величину задают функциями двух типов, названия которых вы видите в заголовке.
Функция распределения непрерывной случайной величины определяется точно так же, как и функция распределения ДСВ:
– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая «пробегает» все значения от «минус» до «плюс» бесконечности. Таким образом, учитываются все значения, которые В ПРИНЦИПЕ может принять произвольная случайная величина. С увеличением функция распределения «накапливает» (суммирует) вероятности, а значит, является неубывающей и изменяется в пределах . По этой причине её иногда называют интегральной функцией распределения.
Важной особенностью является тот факт, что функция распределения ЛЮБОЙ непрерывной случайной величины всегда и всюду непрерывна! Часто её можно встретить в кусочном виде, например:
однако в точках «стыка» всё хорошо:
и если там разрыв, то вы имеете дело с опечаткой или откровенной ошибкой!
! Но сама по себе непрерывность и ноль слева, единица справа – ещё не означают, что перед нами функция распределения.
При ручном построении чертежа целесообразно найти опорные точки; в нашем примере удобно взять: и плавно-плавно провести карандашом кусочек параболы :
Напоминаю, что левый нижний луч следует прочертить жирно (чтобы он не сливался с осью), а правый верхний луч продолжить за остриё оси (т.к. график бесконечен). Также не забываем, что не может убывать, и если вдруг окажется, что какой-то кусок графика идёт «сверху вниз», то ищите ошибку или опять же – имеет место опечатка. А может просто дрогнула рука :)
Что касаемо масштаба, то смотрим по ситуации, чаще всего оптимальный масштаб составляет 1 ед. = 1 см (две клетки), но поскольку я строю графики не от руки, то особо не слежу за пропорциями – в данном случае по оси ординат вышло примерно в 2 раза больше, чем по оси абсцисс.
Теперь вернёмся к смыслу функции распределения и рассмотрим пару конкретных «икс»:
– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем –1;
– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем 4.
Ну, и очевидно, что рассматриваемая случайная величина принимает случайные, наперёд неизвестные значения из отрезка . Если вкладывать в задачу содержательный смысл, то это может быть случайная продолжительность некоего процесса (в секундах, например), или масса либо размер случайно выбранного объекта (например, крупинки песка). И тому подобное – примеров масса. Конкретные задачи непременно будут, но прежде остановимся на технической стороне вопроса.
Вероятность того, что случайная величина примет значение из некоторого промежутка рассчитывается ещё проще, чем для дискретной случайной величины. Здесь нет никакой Санта-Барбары: отрезок ли нам дан, полуинтервал или интервал , соответствующую вероятность можно вычислить по единой формуле:
Примечание: в следующем параграфе мы обоснуем это утверждение
Например:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка . И точно такими же будут вероятности ;
– вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка ;
– вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала ;
Наверное, вы подметили, что на участках одинаковой длины результаты получились разными: . И возникает вопрос: как оценить эту «концентрацию» вероятностей на различных промежутках? – ведь функция распределения характеризует накопление вероятностей по мере увеличения , и много раз вычислять что-то неохота.
Эффективный ответ на поставленный вопрос даёт
функция ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей
или дифференциальная функция распределения. Она представляет собой производную функции распределения: .
Примечание: для дискретной случайной величины такой функции не существует
В нашем примере:
То есть, всё очень просто – берём производную от каждого куска, и порядок.
Но настоящий порядок состоит в том, что несобственный интеграл от с пределами интегрирования от «минус» до «плюс» бесконечности:
– равен единице, и строго единице. В противном случае перед нами не функция плотности, и если эта функция найдена как производная, то – не является функцией распределения (несмотря на какие бы то ни было другие признаки).
Проверим «подлинность» наших функций. Если случайная величина принимает значения из конечного промежутка, то всё дело сводится к вычислению определённого интеграла. В силу свойства аддитивности:
Совершенно понятно, что левый и правый интегралы равны нулю и нам осталось вычислить:
, что и требовалось проверить. С вероятностной точки зрения это означает, что случайная величина достоверно примет одно из значений отрезка . Геометрически же это означает, что площадь между осью и графиком равна единице, в данном случае речь идёт о площади треугольника . Сторона является фрагментом прямой и для её построения достаточно найти точку :
Ну вот, стало всё наглядно – где бОльшая площадь, там и более вероятные значения. Так как функция плотности «собирает под собой» вероятности, то она тоже неотрицательна и её график не может располагаться ниже оси . Следует также отметить, что в общем случае эта функция разрывна (следим, где «жирные» точки!).
Теперь разберём весьма любопытный факт: поскольку действительных чисел несчётно много, то вероятность того, что случайная величина примет какое-то конкретное значение стремится к нулю. И поэтому вероятности рассчитывают не для отдельно взятых точек, а для целых промежутков (пусть даже очень малых). Как вы правильно догадались:
(синяя площадь на чертеже) – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка ;
(красная площадь) – вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка .
По той причине, что отдельно взятые значения можно не принимать во внимание, с помощью этих же интегралов рассчитываются и вероятности по интервалам / полуинтервалам, в частности:
Этим же объяснятся аналогичная «вольность» с функцией .
Возможно, кто-то спросит: а зачем считать интегралы, если есть функция ?
А дело в том, что во многих задачах непрерывная случайная величина ИЗНАЧАЛЬНО задана функцией плотности распределения, которая ТОЖЕ однозначно определяет случайную величину. Но, как вариант, можно сначала найти функцию (с помощью тех же интегралов), после чего использовать «лёгкий способ» бросить курить отыскания вероятностей. Впрочем, об этом чуть позже:
Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения:
Найти значения и функцию . Проверить, что действительно является функцией плотности распределения. Вычислить вероятности . Построить графики .
Тренируемся самостоятельно! Если возникнут затруднения, то внимательно перечитайте вышеизложенный материал. Краткое решение и ответ в конце урока.
Вообще, типовые задачи на непрерывную случайную величину можно разделить на 2 большие группы: 1) когда дана функция , 2) когда дана функция .
В первом случае не составляет никаких трудностей отыскать функцию плотности распределения – почти всегда производные не то что простЫ, а примитивны (в чём мы недавно убедились). Но вот когда НСВ задана функцией , то нахождение функции распределения – есть более кропотливый процесс:
Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения:
Найти значение и составить функцию распределения вероятностей. Вычислить . Построить графики .
Решение: найдём константу . Это классика. В подавляющем большинстве задач вам не предложат готовую функцию плотности. Используем свойство . В данном случае:
На практике нулевые интегралы можно опускать, а константу сразу выносить за знак интеграла:
Пользуясь чётностью подынтегральной функции, вычислим:
и подставим результат в уравнение:
, откуда выразим
Таким образом, функция плотности распределения:
Выполним проверку, а именно, вычислим тот же самый интеграл, но уже с известной константой. Для разнообразия я не буду пользоваться чётностью:
, что и требовалось проверить.
Обратите внимание, что только при – и только при этом значении, предложенная в условии функция является функцией плотности распределения. Ну и тут не лишним будет проконтролировать, что на интервале , т.е. условие неотрицательности выполнено. Доверяй условию, да проверяй ;) Не раз и не два мне встречались функции, которые в принципе не могли быть плотностью, что говорило об опечатках или о невнимательности авторов задач.
Теперь начинается самое интересное. Функция распределения вероятностей – есть интеграл:
Так как наша состоит из трёх кусков, то решение разобьётся на 3 шага:
1) На промежутке , поэтому:
2) На интервале , и мы прицепляем следующий вагончик:
При подстановке верхнего предела интегрирования можно считать, что вместо «икс» мы подставляем «икс». Если же возник вопрос с пределом нижним, то вспоминаем график синусоиды или нечётность синуса с тригонометрической таблицей.
3) И, наконец, на , и детский паровозик отправляется в путь:
! А вот в этом задании нулевые интегралы пропускать НЕ НАДО. Чтобы показать своё понимание функции распределения ;) К тому же, они могут оказаться вовсе не нулевыми, и тогда придётся иметь дело с интегралами несобственными. Соответствующие примеры я обязательно разберу ниже.
Записываем наши достижения под единую скобку:
С высокой вероятностью всё правильно, но, тем не менее, устно возьмём производную , а также «прозвоним» точки «стыка»:
Правильность решения можно проконтролировать и в ходе построения графика, но, во-первых, он не всегда требуется, а во-вторых, до сего момента можно успеть «наломать дров». Ибо вероятности попадания в интервал чаще находят с помощью функции распределения:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка
Но ценители интегрального исчисления, конечно же, не откажут себе в удовольствии:
, что, кстати, не труднее. И проверочка заодно получилась.
Выполним чертежи. График представляет собой косинусоиду, сжатую вдоль ординат в 2 раза:
Тот редкий случай, когда функция плотности непрерывна.
Значение численно равно заштрихованной площади – это я специально сделал, чтобы напомнить вероятностный смысл функции плотности. И вся площадь под «дугой» равна единице, то есть, достоверным является тот факт, что случайная величина примет значение из интервала . Заметьте, что значения , согласно условию, невозможны.
Осталось изобразить функцию распределения. График представляет собой сжатую в 2 раза вдоль оси ординат синусоиду, сдвинутую на вверх:
В принципе, тут можно не заморачиваться преобразованием графиков, а найти несколько опорных точек и догадаться, как выглядит кривая (тригонометрическая таблица в помощь). Но «любительский» подход чреват тем, что график получится принципиально не точным. Так, в нашем примере в точке существует перегиб графика, и велик риск неверно отобразить его выпуклость / вогнутость.
Чертежи желательно расположить так, чтобы оси ординат лежали ровненько одна под другой. Это будет хорошим тоном.
И я так чувствую, вам уже не терпится проверить свои силы. Как водится, пример попроще:
Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины :
Требуется:
1) определить коэффициент ;
2) найти функцию распределения ;
3) построить графики ;
4) найти вероятность того, что примет значение из промежутка
и задачка поинтереснее:
Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:
Найти значение и построить график плотности распределения. Найти функцию распределения вероятностей и построить её график. Вычислить вероятность .
Дерзайте! Свериться с решением можно внизу страницы.
И в заключение 1-й части урока обещанные случаи с несобственными интегралами:
Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения:
Найти коэффициент и функцию распределения . Построить графики.
Решение: по свойству функции плотности распределения:
В данной задаче состоит из 2 частей, поэтому:
Правый интеграл равен нулю, а вот левый – есть «живой» несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом:
Таким образом, наше уравнение превратилось в готовый результат:
и функция плотности:
Функция , как нетрудно понять, отыскивается в 2 шага:
1) На промежутке , следовательно:
– вот такая вот у нас замечательная экспонента. Как птица Феникс.
2) На интервале и:
, что и должно получиться.
Для построения графиков найдём пару опорных точек: и аккуратно прочертим кусочки экспонент с причитающимися дополнениями:
Заметьте, что теоретически случайная величина может принять сколь угодно большое по модулю отрицательное значение, и ось абсцисс является горизонтальной асимптотой для обоих графиков при .
Ещё более интересное задание для самостоятельного изучения:
Проверить, что является функцией плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Найти и выполнить чертежи.
Здесь случайная величина теоретически принимает вообще ВСЕ действительные значения, т.к. определена при любом «икс». В ходе проверки на плотность удобно использовать чётность подынтегральной функции в несобственном интеграле, а для нахождения самого интеграла нужно представить и избавиться от трёхэтажности дроби. Самостоятельно выясните, как будут выглядеть графики – статья об асимптотах в помощь.
Жду вас во 2-й части урока, посвящённой числовым характеристикам НСВ. Постарайтесь освоить её как можно скорее – по «горячим» знаниям и навыкам!
Решения и ответы:
Пример 1. Решение: в силу непрерывности функции распределения:
Таким образом:
Найдём функцию плотности распределения:
Покажем, что действительно является функцией плотности:
1) Для любого значения , в частности, на среднем промежутке:
Внимание! Без 1-го пункта обойтись нельзя!
2)
Таким образом, найденная функция действительно является функцией плотности распределения.
Требуемые вероятности выгоднее вычислить с помощью функции распределения:
– вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала ;
– вероятность того, что случайная величина примет значение, больше, чем .
Построим графики :
Пример 3. Решение:
1) По свойству функции плотности распределения:
В данной задаче:
Таким образом, искомая плотность:
2) Функцию распределения найдём с помощью формулы :
– если то и ;
– если то и ;
– если то и:
.
Таким образом:
3) Выполним чертежи:
4) Найдём вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка :
Пример 4. Решение: функция плотности распределения вероятности обладает свойством . В данном случае:
Таким образом, функция плотности распределения:
Выполним чертеж:
Составим функцию распределения вероятностей :
1) Если , то и
2) Если , то и
3) Если , то и:
4) Если , то и:
Таким образом:
,
Выполним чертеж:
Вычислим – вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала .
Пример 6. Решение: проверим, что функция является функцией плотности:
1) Поскольку экспоненциальная функция положительна, то для любого , значит, свойство неотрицательности функции плотности выполнено.
2) Проверим выполнение свойства . Сначала удобно найти неопределённый интеграл:
.
Используем чётность подынтегральной функции:
Вывод: является функцией плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины, что и требовалось проверить.
Найдём функцию распределения:
– для всех .
Выполним чертёжи:
! Обратите внимание, что у 1-го графика одна, а 2-го – две горизонтальные асимптоты, «залезать» за которые нельзя!
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
Читайте также: