Являются ли эквивалентными следующие высказывания
Обновлено: 21.11.2024
С помощью таблиц истинности можно установить эквивалентность двух или нескольких высказываний.
Высказывания называются эквивалентными, если соответствующие значения каждого из них совпадают в таблице истинности.
Если значения сложных высказываний совпадают на всех наборах значений входящих в них переменных, то такие высказывания называют равносильными, или тождественными, или эквивалентными.
Примеры решения задач
Пример 1
Утверждается, что высказывание А+В· С эквивалентно высказыванию (А+В)·(А+С).Проверить это утверждение.
Решение. Проверка ведется путем составления таблицы истинности.
А | В | С | В· С | А+В· С | А+В | А+С | (А+В)· (А+С) |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Эквивалентные (равносильные) высказывания соединяют знаком º
Отметим различие между эквивалентностью и эквиваленцией.
Эквиваленция является логической операцией, позволяющей по двум заданным высказываниям А и В построить новое А«В.
Эквивалентность же является отношением между двумя составными высказываниями, состоящим в том, что их значения истинности всегда одни и те же.
Пример 2
Эквивалентны ли высказывания:
и
Решение.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
А | В | С |
Высказывание ( ) и высказывание ( ) не эквивалентны. Тавтология Пусть дано высказывание А × А и необходимо составить таблицу истинности.
Высказывание А × ложно, истинность его не зависит от истинности высказывания А.
Рассмотрим высказывание В+ .
В этом случае высказывание В+ всегда истинно, независимо от истинности В. Высказывания, истинность которых постоянна и не зависит от истинности входящих в них простых высказываний, а определяется только их структурой, называются тождественными. Различают тождественно-истинные и тождественно-ложные высказывания. Если высказывание истинно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно истинным или тавтологией (обозначается константой 1) Если высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно ложным (обозначается константой 0) В формулах каждое тождественно-истинное высказывание заменяется 1, а тождественно-ложное – 0. Закон исключенного третьего. A× º0 В+ º1 Примеры решения задач Пример 1 Решение
Пример 2 Докажите тавтологию ((X®Y)Ù(Y®Z))®(X®Z). Решение
Вывод. Высказывание ((X®Y)Ù(Y®Z))®(X®Z) является тавтологий (тождественно-истинное высказывание). Пример 3 Установить является ли данное высказывание тавтологией.
|