Вывести выражение для вектора умова стоячей волны

Обновлено: 04.11.2024

Вектором Умова - Пойнтинга ($\overline$) называют векторную физическую величину, определяющую поток энергии волной, равную:

где $\overline$ - напряженность электрического поля; $\overline$ - напряженность магнитного поля. Направлен $\overline$ перпендикулярно $\overline$ и $\overline$ и совпадает с направлением распространения электромагнитной волны. Пойнтинг ввел этот вектор для электромагнитных волн, Умов распространил на другие типы волн.

Модуль вектора Пойнтинга

Правая часть формулы (1) представляет собой векторное произведение векторов, значит, величина вектора Умова - Пойнтинга для электромагнитной волны равна:

где $\alpha $ - угол между векторами $\overline$ и $\overline$, для электромагнитной волны$\ \overline\bot $ $\overline\ $следовательно:

Вектор $\overline\ $удовлетворяет в свободном пространстве уравнению непрерывности:

где $w$ - объемная плотность энергии электромагнитного поля.

Стоячие волны

Стоячими волнами называют волны, которые образуются при наложении двух бегущих волн, которые распространяются друг навстречу другу и имеют одинаковые амплитуды и частоты.

Если мы имеем дело с двумя плоскими волнами, распространяющимися навстречу друг другу по оси X без затухания, то уравнение стоячей волны можно записать как:

где $k=\frac<2\pi ><\lambda >$ - волновое число. Уравнение (5) получено при учете, что начало координат выбирается точка, в которой обе встречные волны имеют одинаковую фазу, начало отсчета такое, что при $t=0,\ $ фазы волн равны нулю. Формула (5) показывает, что в стоячей волне амплитуда зависит от координаты ($x$).

К особенностям стоячих волн в сравнении с бегущими волнами, относят то, что:

в стоячей волне амплитуды колебаний различны в разных точках; система имеет узлы и пучности колебаний;
на отрезке участка системы от одного узла до соседнего, все точки вещества совершают колебания в одинаковой фазе; при переходе к соседнему участку фазы колебаний изменяются на противоположные;
в стоячей волне нет одностороннего переноса энергии, но на каждом отрезке линии, равном $\frac<\lambda >$ запасена некоторая электромагнитная энергия, и она периодически переходит из энергии электрического поля в энергию магнитного поля.

Примеры задач на вектор Пойнтинга стоячей волны

Пример 1

Задание. Вычислите вектор Пойнтинга для стоячей электромагнитной волны.

Колебания полей в стоячей электромагнитной волне можно представить при помощи формул:

где $_E=2\pi \frac<\lambda >+?$ и $_H=2\pi \frac<\lambda >+\eta $\textit < >- запаздывание по фазе отраженной волны соответствующих полей; $?$ и $\eta $ - изменения фазы при отражении, они равны нулю или $\pi ;;$ $l$ - для свободных волн расстояние между излучателем и отражающей поверхностью.

Решение.Прежде всего, введем обозначения:

Тогда заданную систему уравнений (1.1) можно переписать как:

где амплитуды $E_1$ и $H_1$ не зависят от времени. Предположим, что $?=\pi ,\ $тогда $\eta =0$ в результате имеем:

Для электромагнитной волны, в которой $\overline\bot $ $\overline\ $следовательно:

Пример 2

Задание. Чему равна средняя величина по времени вектора Пойнтинга в стоячей электромагнитной волне?

Решение. Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся ответом предыдущего примера:

Мы получили, что поток электромагнитной энергии в стоячей волне описывает выражение (2.1). Из формулы (2.1) видно, что величина $S$ совершает колебания с частотой $2\omega $ и периодически изменяет знак, следовательно, среднее от вектора Пойнтинга равно:

Формула (2.2) означает, что в стояче волне нет течения энергии. Периодическое изменение знака вектора Пойнтинга показывает, что направление движения энергии периодически изменяется. Энергия совершает колебания между пучностями электрического и пучностями магнитного полей.

Читайте также: