Высказывания с математическим содержанием истинность и ложность

Обновлено: 04.11.2024


В презентации представлены: история развития логики, понятие "высказывание", определение "логические операции", задания и т.д.

Математическая логика. Высказывания и операции над ними

Содержимое разработки

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА Высказывания и операции над ними

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Высказывания и операции над ними

Основоположником логики является древнегреческий философ Аристотель . Им были открыты в 338 г. до н.э. три основных закона логики : закон тождества закон отрицания противоречия закон исключенного третьего Логика Аристотеля на протяжении многих веков дополнялась, усовершенствовалась и развивалась.

Основоположником логики является древнегреческий философ Аристотель . Им были открыты в 338 г. до н.э. три основных закона логики :

  • закон тождества
  • закон отрицания противоречия
  • закон исключенного третьего

Логика Аристотеля на протяжении многих веков дополнялась, усовершенствовалась и развивалась.

В середине XIX в. большой вклад в развитие математической логики внес английский ученый физик Джордж Буль , разработав алгебру высказываний. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами. К середине XX в. идеи математической логики проникли в технику, кибернетику, вычислительную математику.

В середине XIX в. большой вклад в развитие математической логики внес английский ученый физик Джордж Буль , разработав алгебру высказываний. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

К середине XX в. идеи математической логики проникли в технику, кибернетику, вычислительную математику.

На протяжении изучения математической логики мы будем оперировать различными высказываниями и из всех свойств высказываний нас будет интересовать только одно – ИСТИННО оно или ЛОЖНО .

На протяжении изучения математической логики мы будем оперировать различными высказываниями и из всех свойств высказываний нас будет интересовать только одно – ИСТИННО оно или ЛОЖНО .

Высказыванием называется повествовательное предложение, относительного которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Пример: «6 – четное число» - высказывание истинно; «Рим – столица Франции» - высказывание ложно.

Высказыванием называется повествовательное предложение, относительного которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Не всякое предложение является логическим высказыванием!

Высказываниями НЕ ЯВЛЯЮТСЯ , например, предложения:

«Ученик десятого класса» и «Информатика – интересный предмет» .

Первое предложение ничего не утверждает об ученике,

а второе использует слишком неопределенное понятие «интересный предмет».

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания, такие как «не», «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда» позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками .

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания, такие как

  • «не»,
  • «и»,
  • «или»,
  • «если…, то»,
  • «тогда и только тогда»

позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания.

Такие слова и словосочетания называются логическими связками .

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными . Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными . Пример: из элементарных высказываний « Петров - врач », « Петров - шахматист » при помощи связки « и » можно получить составное высказывание: « Петров врач и шахматист ». Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний .

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными . Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными .

из элементарных высказываний « Петров - врач », « Петров - шахматист » при помощи связки « и » можно получить составное высказывание: « Петров врач и шахматист ».

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний .

Задание 1 Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями и определите их истинность: а) Сириус является спутником Земли. б) 2 + 3 ≥5. в) Сегодня отличная погода. г) Санкт-Петербург расположен на Неве. д) Музыка Баха слишком сложна. е) Сумма углов треугольника равна 360 0 .

Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями и определите их истинность:

а) Сириус является спутником Земли.

в) Сегодня отличная погода.

г) Санкт-Петербург расположен на Неве.

д) Музыка Баха слишком сложна.

е) Сумма углов треугольника равна 360 0 .

Для удобства элементарные высказывания будем обозначать через A, B, C, …, Z – логические переменные, они могут принимать только два значения – «истина» или «ложь», и обозначаться соответственно «1» и «0». Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение.

Для удобства элементарные высказывания будем обозначать через

  • A, B, C, …, Z – логические переменные,
  • они могут принимать только два значения – «истина» или «ложь»,
  • и обозначаться соответственно «1» и «0».

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение.

Логические операции Логическая операция Обозначение конъюнкция В обычной речи дизъюнкция и импликация или эквиваленция отрицание</p> <p>если …, то тогда и только тогда ¯ не

тогда и только тогда

Конъюнкция Конъюнкцией двух высказываний А и В называется третье высказывание С, обозначаемое , которое истинно  истинны оба высказывания и А и В. A B и и и л и л л л и л л л

Конъюнкцией двух высказываний А и В называется третье высказывание С, обозначаемое , которое истинно  истинны оба высказывания и А и В.

Дизъюнкция Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется третье высказывание С, обозначаемое , которое истинно  истинно хотя бы одно из высказываний или А или В. A B и и и л и л л и и л и л

Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется третье высказывание С, обозначаемое ,

которое истинно  истинно хотя бы одно из высказываний или А или В.

Импликация Импликацией двух высказываний А и В называется третье высказывание С, обозначаемое , которое ложно  высказывание А – истинно, а В – ложно. A B и и и л и л л л и л и и

Импликацией двух высказываний А и В называется третье высказывание С, обозначаемое ,

которое ложно  высказывание А – истинно, а В – ложно.

Эквиваленция Эквиваленцией двух высказываний А и В называется третье высказывание С, обозначаемое , которое истинно  А и В имеют одинаковые значения. A B и и и л и л л л и л л и

Эквиваленцией двух высказываний А и В называется третье высказывание С, обозначаемое ,

которое истинно  А и В имеют одинаковые значения.

Отрицание Отрицанием высказывания A называется высказывание С, обозначаемое , которое истинно, когда А – ложно и ложно, когда А – истинно. A и л л и

Отрицанием высказывания A называется высказывание С, обозначаемое , которое истинно, когда А – ложно и ложно, когда А – истинно.

Задание 2 Определите значения истинности следующих высказываний: а) Кения находится в Африке и в Кирове есть метро. б) Волк живёт в лесу или в квадрат нельзя вписать окружность. в) Если 2*2=4, то Киров – столица России. г) Если 2*2=4 и Киров – столица России, то белые медведи живут в Африке. д) Мыши едят кошек или мамонты живут в Европе. е) Если коровы летают, то крокодил умеет плавать.

Определите значения истинности следующих высказываний:

а) Кения находится в Африке и в Кирове есть метро.

б) Волк живёт в лесу или в квадрат нельзя вписать окружность.

в) Если 2*2=4, то Киров – столица России.

г) Если 2*2=4 и Киров – столица России, то белые медведи живут в Африке.

д) Мыши едят кошек или мамонты живут в Европе.

е) Если коровы летают, то крокодил умеет плавать.


7 " width="640"

Сформулируйте отрицания следующих высказываний, укажите значения истинности данных высказываний и их отрицаний:

б) Не всякое уравнение имеет корень. в) Существуют иррациональные числа.

г) Нет человека, не имеющего матери. д) Неверно, что точка В не лежит на прямой а .


-82%

Читайте также: