Высказывания о комплексных числах

Обновлено: 16.05.2024

История развития числа уходит своими корнями в далекое прошлое. И на заре цивилизации числа возникли из практических потребностей людей в счете. По мере развития общества развивалось и продолжает развиваться и понятие о числе. В 13 веке математики научились извлекать квадратные корни из положительных чисел и установили, что с числами отрицательными эта операция невозможна. Но в 16 веке в связи с изучением кубических уравнений математики столкнулись с этой проблемой. Поэтому итальянский математик Дж. Кардано в 1545 году в своем труде предложил ввести числа новой природы. Он назвал эти величины «чисто отрицательными» или «софистически отрицательными». Название «мнимые числа» в 1637 году было введено французским математиком и философом Р. Декартом. Сам же термин «комплексное число» ввел в 1803 году Л. Карно, но в употребление он вошел только благодаря работам К. Гаусса. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. В наше время комплексные числа и их свойства изучаются в технических вузах. Но при изучении этой темы студенты часто не понимают, зачем им нужно знать об этих числах и где знания о комплексных числах могут пригодиться. Попробуем разобраться в этих вопросах.

Актуальность

Тема исследования достаточно актуальна. Комплексные числа используются во многих областях науки. В наше время довольно много учебной литературы о комплексных числах. Однако не во всех изданиях материал изложен понятно и доступно.

Гипотеза: комплексные числа используются при решении разных задач

Цель: изучить свойства комплексных чисел и оценить роль комплексных чисел при решении разных задач

1. Проанализировать источники информации о комплексных числах.

2. Описать свойства комплексных чисел.

3. Определить, где используются комплексные числа.

4. Научиться проделывать арифметические операции над комплексными числами

1. Анализ источников информации о комплексных числах

2. Решение примеров

Комплексные числа и их свойства

Определение

Комплексное число – это выражения типа z =а+ bi , где i – это мнимая единица. Ее основное свойство: i 2 = -1. Число a называется действительной частью ( Re ( z )) комплексного числа z , число b называется мнимой частью ( Im ( z )) комплексного числа z .

Множество комплексных чисел обозначается буквой С. Если мнимая часть числа z равно 0, то комплексное число превращается в вещественное: а+0 i = а

Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества R ⊂ C . Если действительная часть числа z равна 0, то такое число называют чисто мнимым (например, 3 i , -(√2+1) i ).

Геометрическое изображение комплексных чисел

Комплексное число z = a + bi можно изобразить на комплексной плоскости, которая представляет собой систему координат. На оси ОХ – действительные числа, а на оси О Y чисто мнимые числа. Тогда число z на комплексной плоскости – это радиус-вектор, начинающийся в начале координат и заканчивающийся в точке с координатами ( a ; b ). На чертеже представлены геометрические изображения 10 разных комплексных чисел.

Модулем комплексного числа z = a +b i называется длина вектора, соответствующего этому числу; |z| = r = √(а 2 + b 2 )

Аргументом комплексного числа z=х+у i , отличного от 0, называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z и обозначается arg z .

Пусть z = 1+ i . Тогда arg z = arctg (1/1) = arctg 1 = π/4

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Рассмотрим число z = a + bi . Пусть r – модуль этого числа, а φ – аргумент. Тогда число z можно записать в виде:

z = r(cos φ +i sin φ )

Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Рассмотрим снова число z = 1+ i . В предыдущем пункте мы уже вычислили φ = arg z = π/4. Модуль этого числа равен: r = √(1 2 +1 2 ) = √2

Тогда z = √2( cos (π/4) + i sin (π/4))

Показательная форма записи комплексных чисел

Формула Эйлера: e i φ = cos φ + i sin φ, где е = 2,718… (число Эйлера). Исходя из того, что z = r ( cos φ + i sin φ), получим z = re i φ . Такая форма записи комплексного числа называется показательной. Запишем число z = 1+ i в показательной форме. Т.к r =√2, φ = π/4, то z = √2е i π/4

СТЕПЕНИ ЧИСЛА i

i 4n+1 = i; i 4n+2 = - 1; i 4n+3 = - i; i 4n = 1.

Свойства комплексных чисел

· Числа z = a + bi и z₁ = a - bi называются комплексно - сопряженными; сумма и произведение двух сопряженных чисел являются действительными числами.

· Числа z = a + bi и -z = -a - bi – противоположные.

· Сумма двух противоположных чисел равна нулю (z + (-z)) = 0

· Два комплексных числа z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ - b₂i называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части.

· Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

Действия над комплексными числами

Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что i 2 = -1.

Пример: сложить два комплексных числа z₁ = 1 + 3i, z₂ = 4 - 5i

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части: z ₁ + z ₂ =1 +3 i +4 -5 i =5 -2 i

Пример: найти разность комплексных чисел z₁= -2 +i, z₂ = 4i -2

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем - стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака: z ₁ - z ₂ = (-2 + i ) - (4 i - 2) = -2 + i - 4 i +2 = - 3 i

Пример: найти произведение комплексных чисел z₁ =1 - i, z₂ =3 +6i

z₁·z₂ =( 1 -i )(3 +6i )=1·3 -i ·3 + 1·6i - i·6i= 3- 3i + 6i +6 = 9 + 3i

Для нахождения частного сначала числитель и знаменатель дроби умножают на сопряженное знаменателю, а затем производят остальные действия.

Пример: найти частное чисел 13+i и 7-6i

= = = = 1+i

Возведение в степень

Для возведения в степень комплексного числа обычно используется формула Муавра. Если комплексное число представлено в форме z = r ( cos φ + i sin φ), то z n = r n ( cos ( n φ) + i sin ( n φ)).

Пример: возвести число z = 3+√3 i в 20-ю степень

Для начала представим число в тригонометрической форме.

r = √(3 2 +(√3) 2 ) = √12 = 2√3

φ = arctg (√3/3) = π /6

z = 2√3( cos ( π /6) + i sin ( π /6))

z 20 = (2√3) 20 (cos(20π/6) + i sin(20π/6)) = (2√3) 20 (cos(10π/3) + i sin(10π/3)) = (2√3) 20 (cos(4π/3) + i sin(4π/3))

Извлечение корней

Для извлечения корня из комплексного числа нужно само число представить в тригонометрической форме. Пусть z = r ( cos φ + i sin φ). Тогда:

= (cos ( φ +2 π k/n) +i sin( φ +2πk/n)), k = 0, 1,…,n-1

Комплексные числа и квадратные уравнения

Из курса алгебры основной школы известно, что квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 имеет 2 действительных корня, если дискриминант D = b 2 -4 ac >0. При D =0 уравнение имеет 1 действительный корень, а при отрицательном дискриминанте уравнение не имеет действительных корней. В таком случае корни уравнения – комплексные числа с ненулевой мнимой частью. Это связано с тем, что, используя свойство мнимой единицы ( i 2 = -1), можно извлекать корни из отрицательных чисел. Например, √(-9) = ±3 i . Проверка: (3 i ) 2 =9 i 2 = -9; (-3 i ) 2 = 9 i 2 = -9. Да и вообще, √ n = i √(- n )

Решим уравнение х 2 +х+1 = 0

D = 1 2 -4*1*1 = -3, √(-3) = i √3

х=

Несложно заметить, что корни этого уравнения – сопряженные комплексные числа. Да и вообще, если у уравнения ax n + bx n -1 + … + с = 0 с действительными коэффициентами имеется комплексный корень, то и число, сопряженное этому корню, также является корнем этого уравнения.

Где применяются комплексные числа

В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а иногда и совершенно неожиданные применения. Так, например, с помощью комплексных чисел Гаусс нашел ответ на чисто геометрический вопрос: при каких натуральных n циркулем и линейкой можно построить правильный n-угольник? Из школьного курса геометрии известно, как циркулем и линейкой построить некоторые правильные многоугольники: правильный треугольник, квадрат, правильный 6-угольник (его сторона равна радиусу описанной около него окружности). Более сложным является построение правильных 5-угольника и 15-угольника. В 1796 г. Карл Фридрих Гаусс, 19-летний студент-математик Геттингенского университета, впервые доказал возможность построения правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки. В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения правильных n-угольников. Гаусс доказал, что правильный N-угольник с нечетным числом сторон (вершин) может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число N является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма. Числами Ферма называют числа вида F_n = 2 2^ n +1. При n = 0, 1, 2, 3, 4 эти числа являются простыми, при n = 5 число F₅ будет составным. Из этого результата следовало, что построение правильного многоугольника невозможно при N = 7, 9, 11, 13. При доказательстве возможности построения правильного 17-угольника Гаусс пользовался свойствами корней 17-й степени из единицы.

Теория функций комплексной переменной находит широкое применение при решении важных практических задач картографии, электротехники, теплопроводности и др.

Русский и советский ученый H. E. Жуковский (1847-1921) успешно применял теорию функций комплексной переменной к решению важных прикладных задач.

Так, методами этой теории он доказал основную теорему о подъемной силе крыла самолета. С помощью теории функций комплексной переменной H.E. Жуковский решал задачи, относящиеся к вопросам просачивания воды через плотины.

Комплексные числа нужны для выполнения заданий других разделов высшей математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерных расчетах на практике.

Читайте также: