Высказывание скорость прямолинейного движения тела в данный момент
Обновлено: 21.11.2024
Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S’(t).
Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.
Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается fили
Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается или f'''(x). Производную n-го порядка обозначают f (n) (x) или y (n) .
Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть
Первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S'; a=v')
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Давайте вспомним механический смысл производной:
Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. В частности, если зависимость между пройденным путём S и временем t при прямолинейном неравномерном движении выражается уравнением S=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени t нужно найти производную S’=f’(x) и подставить в неё соответствующее значение t, то есть v(t)=S'(t).
Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону (S выражается в метрах, t – в секундах). Найти скорость движения через 3 секунды после начала движения.
скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени, то есть .
Подставив в уравнение скорости t=3 с, получим v(3)=32+4∙3-1= 20 (м/с).
Пример 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол
Найдите:
а) угловую скорость вращения маховика в момент t = 6 с;
б) в какой момент времени маховик остановится?
Решение: а) Угловая скорость вращения маховика определяется по формуле ω=φ'. Тогда ω=(4t-0,2t 2 )=4-0,4t.
Подставляя t = 6 с, получим ω=4-0,4∙6=1,6 (рад/с).
б) В тот момент, когда маховик остановится, его скорость будет равна нулю (ω=0) . Поэтому 4-0,4t=0.. Отсюда t=10 c.
Ответ: угловая скорость маховика равна (рад/с); t=10 c.
Решение: найдём скорость движения тела в любой момент времени t.
Вычислим скорость тела в момент времени t=3. v(3)=6∙3+2=20 (м/с)..
Определим кинетическую энергию тела в момент времени t=3.
Производная второго порядка. Производная n-го порядка.
Производная от данной функции называется первой производной или производной первого порядка. Но производная функции также является функцией, и если она дифференцируема, то от неё, в свою очередь, можно найти производную.
Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка и обозначается .
Производная от второй производной называется производной третьего порядка и обозначается y''' или f'''(x) Производную n-го порядка обозначают f (n) (x) или y (n) .
Примеры. Найдем производные четвёртого порядка для заданных функций:
1) f(x)= sin 2x
f'(x)=cos 2x∙(2x)’= 2cos 2x
f (x)=-2sin2x∙(2x)’=-4sin 2x
f'''(x)= -4 cos 2x∙(2x)= -8 cos 2x
f (4) (x)= 8 sin2x∙(2x)’= 16 sin 2x
f (x)= 9∙ 2 3x ∙ln 2 2
f'''(x)= 27∙ 2 3x ∙ln 3 2
f (4) (x)= 81∙ 2 3x ∙ln 4 2
Механический смысл второй производной.
Если первая производная функции – это мгновенная скорость изменения любого процесса, заданного функцией, то вторая производная – это скорость изменения скорости, то есть ускорение, то есть
Итак, первая производная – это скорость изменения процесса, вторая производная – ускорение. (v= S’; a=v’)
Пример 4. Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t 2 -3t+8. Найти скорость и ускорение точки в момент t=4 c.
найдём скорость точки в любой момент времени t.
Вычислим скорость в момент времени t=4 c.
Найдём ускорение точки в любой момент времени t.
a= v’= (6t-3)’=6 и a(4)= 6 (м/с 2 ) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.
Ответ: v=21(м/с); a= v’= 6 (м/с 2 ).
Пример 5. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону S(t)=t 3 -3t 2 +5. Найти силу, действующую на тело в момент времени t=4 c.
Решение: сила, действующая на тело, находится по формуле F=ma.
Найдём скорость движения точки в любой момент времени t.
v=S’=(t 3 -3t 2 +5)’=3t 2 -6t.
Тогда v(4)=3∙4 2 -6∙4=24 (м/с).
Найдём ускорение: a(t)=v’=(3t 2 -6t)’=6t-6.
Тогда a(4)= 6∙4-6= 18 (м/с 2 ).
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Напишите производную третьего порядка для функции:
f(x)= 3cos4x-5x 3 +3x 2 -8
Решим данную задачу:
f’’’(x)=( 3cos4x-5x 3 +3x 2 -8)’’’=(((3cos4x-5x 3 +3x 2 -8)’)’)’=((-12sin4x-15x 2 +6x)’)’=(-48cos4x-30x)’=192sin4x-30.
Ответ: 192sin4x-30
№ 2. Тип задания: выделение цветом
Точка движется прямолинейно по закону S(t)= 3t 2 +2t-7. Найти скорость и ускорение точки в момент t=6 c.
- v=38 м/с; a=6 м/с 2
- v=38 м/с; a=5 м/с 2
- v=32 м/с; a=6 м/с 2
- v=32 м/с; a=5 м/с 2
Решим данную задачу:
Воспользуемся механическим смыслом второй производной:
v= S’(t)=( 3t 2 +2t-7)’=6t+2.
Вычислим скорость в момент времени t=6 c.
Найдём ускорение точки в любой момент времени t.
a= v’= (6t+2)’=6 и a(6)= 6 (м/с 2 ) , то есть ускорение в этом случае является величиной постоянной.
Читайте также: