Выражение вектора через орты

Обновлено: 22.12.2024

Умножаются на это число, при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

3А = (-6; 9; 15), -2B = (-8; 2; -14).

3А – 2B = 3А + (-2B) = (-6 - 8; 9 + 2; 15 – 14) = (-14; 11; 1).

Ответ: 3А – 2B = (-14; 11; 1).

При каких A И B векторы А = (A; 3; -5) и B = (1; -2; B) коллинеарны?

Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Если A || B, то . Отсюда:

Ответ: .

Найти направляющие косинусы вектора А = .

Направляющие косинусы являются координатами орта (единичного вектора) данного направления.

Найдем модуль вектора А:

Разделив все координаты вектора А на его модуль, получим координаты орта:

Ответ:

Разложить вектор D = < -6; 0; 13>по базису из векторов A = ,

Требуется найти такие числа A, B, G, что D =AA + BB + GC. Задайте координаты вектора AA + BB + GC и приравняйте их соответствующим координатам вектора D.

Тогда AA + BB + GC = A + B- 3G; -A + B+ G; 3A - B+ 2G>, причем координаты этого вектора должны равняться соответствующим координатам вектора D. Приравнивая эти координаты, получаем систему уравнений для определения A, B, G:

Следовательно, D = 2A – B + 3C.

Ответ: D = 2A – B + 3C.

Для векторов A = , B = , C = , D = < 15; 7; 4>найти такие числа A, B, G, чтобы векторы AA, BB, GC и D образовали замкнутую ломаную линию, если начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего.

Для выполнения условия задачи сумма векторов AA + BB + GC + D должна равняться нулю.

Найдите координаты вектора AA + BB + GC + D и приравняйте нулю каждую из них.

Для выполнения условия задачи сумма векторов AA + BB + GC + D должна равняться нулю.

Найдем координаты вектора AA + BB + GC + D:

AA + BB + GC + D = A – B + 3G + 15; 2A + B + 2G + 7; 3A - 2B + G +4>. Следовательно, A, B и G,должны быть решением системы уравнений

Ответ: A = B = 1, G = -5.

Выяснить, является ли система векторов A = , B = ,

C = линейно зависимой или линейно независимой.

Система векторов называется линейно независимой, если равенство

AA + BB + GC = 0

Верно только при A = B = G = 0.

Координаты вектора AA + BB + GC имеют вид:

По правилу Крамера система имеет единственное решение, но для однородной системы всегда существует нулевое решение (A = B = G = 0).

Поскольку других решений нет, данная система векторов линейно независима.

Ответ: Система векторов линейно независима.

Найти координаты какого-либо вектора, направленного по биссектрисе угла между векторами А = (-4; 3; 0) и B = (12; -15; 16).

Диагональ параллелограмма является биссектрисой угла между сторонами только в том случае, если этот параллелограмм – ромб. Следовательно, искомым вектором можно считать сумму двух векторов равной длины, коллинеарных соответственно векторам А и B.

Вектор A + B направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах А и B как на смежных сторонах и выходящей из общего начала векторов А и B.

Следовательно, |5A| = |B|. Значит, параллелограмм со сторонами, совпадающими с векторами 5A и B, является ромбом, поэтому вектор 5A + B будет иметь заданное направление.

5A + B = (-20 + 12; 15 – 15; 0 + 16) = (-8; 0; 16).

При каких значениях X, Y, Z точки А(Х; -1; 3), В(5; -4; Z), C(-2; Y; 9), D(-5; 1; 7) являются вершинами параллелограмма?

Для выполнения условия задачи требуется коллинеарность векторов и и и .

Найдем координаты этих векторов:

Из последней пропорции получаем, что Z = 1 – 2Y. Тогда

Но при этих значениях неизвестных

Условие задачи выполнено.

Ответ: Х = 2, У = -2, Z = 5.

Найти скалярное произведение (A – B)(2A + B), если |A| = 2, |B| = 3, а угол между А и B равен 120о.

Используйте определение скалярного произведения:

Используем свойства скалярного произведения:

(A – B)(2A + B) = 2Аа – 2Ba + Ab – Bb = 2|A|2 – Ab - |B|2.

По определению скалярного произведения

Тогда (A – B)(2A + B) = 2·4 – (-3) – 9 = 8.

Ответ: (A – B)(2A + B) = 8.

Известно, что |A| = 3, |B| = |C| = 1 и A + B + C = 0. Найти Ab + Bc + Ca.

Вектор A + B + C – нулевой, поэтому его скалярное произведение с любым вектором равно нулю. Умножьте скалярно вектор A + B + C сначала на A, затем на B И на C.

Вектор A + B + C – нулевой, поэтому его скалярное произведение с любым вектором равно нулю. Умножим скалярно вектор A + B + C сначала на A, затем на B И на C. Получим:

Сложим левые и правые части полученных равенств:

11 + 2Ab + 2Bc + 2Ca = 0, откуда Ab + Bc + Ca = -5,5.

Ответ: Ab + Bc + Ca = -5,5.

Даны векторы А = и B = . Найти скалярное произведение

(3А – B)(A + 2B).

Найдите координаты векторов 3А – B и A + 2B или используйте свойства скалярного произведения.

Найдем координаты векторов 3А – B и A + 2B:

Тогда (3А – B)(A + 2B) = 7·0 - 11·1 + 2·3 = -5.

Используем свойства скалярного произведения:

(3А – B)(A + 2B) = 3Aa – Ba +6Ab – 2Bb = 3|A|2 + 5Ab -2|B|2.

|A|2 = 22 + (-3)2 + 12 = 14;

|B|2 = (-1)2 + 22 + 12 = 6;

Ab = 2·(-1) - 3·2 + 1·1 = -7;

(3А – B)(A + 2B) = 3·14 + 5·(-7) - 2·6 = -5.

Ответ: (3А – B)(A + 2B) = -5.

Найти косинус угла между векторами А = и B = .

Используйте формулу, выражающую косинус угла между векторами через их скалярное произведение.

Ответ: .

Найти вектор B, если А = , B || A И Ab = -51.

Координаты вектора B пропорциональны координатам А. Если K – коэффициент пропорциональности, то B = K; -2K; 3K>.

Тогда Ab = 2·2K – 2(-2K) + 3·3K = 17K = -51, откуда K = -3, B = .

Ответ: B = .

Известно, что |A| = 2, |B| = 7. Найти значения K, при которых векторы

A + KB и A - KB перпендикулярны.

Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Ответ: K = .

Читайте также: