Выражение средней скорости молекул газа

Обновлено: 04.11.2024

С помощью закона распределения молекул по скоростям мы можем описать, как именно в макроскопической системе происходит распределение частиц (при условии ее нахождения в термодинамическом равновесии). Такое распределение называется стационарным, и воздействия внешних сил на систему при этом не происходит.

Данный закон распространяется как на жидкости, так и на газы, если на них действуют законы классической механики. Если мы знаем, как именно распределяются молекулы по своим скоростям, значит, мы можем ответить, какой объем молекул имеет определенную скорость в условиях заданной температуры в равновесном состоянии.

Чтобы лучше объяснить данный вопрос, начнем с введения такого понятия, как пространство скоростей. Оно изображено схематически на рисунке 1 .

Мы видим, что в декартовой системе координат здесь отмечены именно проекции скоростей, а не координаты. Тогда исходный вопрос можно переформулировать так: "Как именно будут распределяться молекулы в пространстве скоростей"?

Очевидно, что данное распределение не будет равномерным. Если в пространстве мы выделим параллелепипед, имеющий объем d ω = d υ x d υ y d υ z , то в нем окажется d N υ молекул. Обозначим буквой N число молекул газа, тогда f ( v ) будет некоторой функцией скорости.

Распределение Максвелла

Поскольку, как мы уже отмечали, газ находится в равновесном состоянии, то направления движений частиц являются равноправными. Значит, допустимо считать, что в пространстве скоростей распределение молекул является симметричным и имеет сферическую форму.

Определим, из скольких молекул состоит шаровой слой d υ . Разделим найденное выше число на количество частиц ( N ) и получим вероятность d W υ того, что пределы модуля скорости молекулы равны υ - υ + d v .

Здесь F ( v ) является функцией распределения вероятности значения v . Впервые данная функция теоретически была получена Д. Максвеллом.

Таким образом, закон распределения молекул по модулям скоростей имеет следующий вид:

d N υ = N 4 π m 0 2 πkT 3 2 e x p - m 0 υ 2 2 k T υ 2 d υ .

Здесь υ = υ x 2 + υ y 2 + υ z 2 , масса молекулы равна m 0 , а k – постоянная Больцмана.

По проекциям скоростей распределение Максвелла может быть записано так:

d N = N f υ x f υ y f υ z d υ x d υ y d υ z .

Важно учесть, что:

f υ i = m 0 2 πkT 1 2 e x p - m 0 υ i 2 2 k T ( i = x , y , z ) .

Параметры υ x , υ y , υ z означают проекции скоростей молекул на оси координат.

Также возможен следующий вариант записи распределения Максвелла:

d N = N 4 π υ v e r 3 e x p - υ υ v e r 2 υ 2 d υ .

Здесь υ υ e r обозначает наиболее вероятную скорость движения молекулы.

Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать задание

Как выглядит распределение Максвелла на графике

Кривая распределения молекул по скоростям на графике выглядит так:

При этом доля тех молекул, которые движутся со скоростями в интервале от υ до υ + d υ будет пропорциональна площади d S , которая на графике обозначена штриховкой.

Скорости всех молекул принадлежат интервалу от нуля до плюс бесконечности, значит, будет верным равенство:

∫ 0 ∞ f ( υ ) d υ = 1 .

Оно называется условием нормировки функции распределения.

Следовательно, распределение Максвелла по скоростям имеет зависимость от температуры газа и массы его молекул. Объем и давление можно не учитывать.

Условие: вычислите, какова будет наиболее вероятная скорость молекул газа при температуре Т в равновесном состоянии.

Решение

Нам потребуется распределение Максвелла (распределение по модулям скоростей).

d N υ = N 4 π m 0 2 π k T 3 2 e x p - m 0 υ 2 2 k T υ 2 d υ .

Максимум функции будет соответствовать самой вероятной скорости. Дифференциация выражения по скорости и сравнение ее с нулем даст нам следующий результат:

d N υ d υ = N 4 π m 0 2 πkT 3 2 2 υ υ e r e x p - m 0 υ υ e r 2 2 k T - υ υ e r 2 m 0 2 υ υ e r 2 k T e x p - m 0 υ υ e r 2 2 k T = 0 ;

2 υ υ e r - υ υ e r 2 m 0 2 υ υ e r 2 k T = 0 → 1 - υ υ e r 2 m 0 2 k T = 0 → υ υ e r 2 = 2 k T m 0 .

υ υ e r = 2 k T m 0 .

Ответ: наиболее вероятно, что скорость газа будет равна υ υ e r = 2 k T m 0 .

Пример 2

Условие: изобразите кривые распределения скоростей молекул газа при росте температуры Т .

Решение

Возьмем формулу наиболее вероятной скорости из предыдущей задачи.

υ υ e r = 2 k T m 0

Понятно, что чем больше будет температура, тем выше будет скорость молекул, т.е. произойдет смещение максимума в сторону больших скоростей. Поскольку площадь под кривой распределения является постоянной величиной, кривые на графике будут показаны следующим образом:

Пример 3

Условие: дан график функции, по которой молекулы будут распределяться с учетом проекций скорости υ x . Сопоставьте количества молекул, проекции скорости которых будут принадлежать интервалам от нуля до υ x 1 и от υ x 1 до υ x 2 .

Решение

Как мы уже указывали ранее, доля молекул газа, скорости которых лежат в первом интервале, будет пропорциональна площади фигуры, образуемой кривой распределения, вертикальной осью 0 1 N d N d υ x и вертикальным пунктиром, перпендикулярным оси проекций. Во втором интервале нужная доля будет пропорциональна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и вертикальной прямой, параллельной оси о х и проходящей через точку υ x 1 . Очевидно, что площадь первой фигуры будет меньше площади второй. Значит, и молекул, проекции скоростей которых лежат в первом интервале, будет меньше, чем во втором.

Ответ: молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до υ x 1 меньше, чем молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от υ x 1 до υ x 2 .

Читайте также: