Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента

Обновлено: 22.12.2024

3) Решение уравнения с использованием формулы синуса, косинуса половинного аргумента.

Глоссарий по теме

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня мы узнаем формулы, позволяющие нам по известным значениям ; находить ; ; . Их называют формулы половинного аргумента.

Повторим формулу косинуса двойного аргумента .

А если учесть, что и , то получим ещё две формулы, которые нам сегодня понадобятся:

и

Пример. а) Найти , если .

Вычислим по формуле

б) Найти , если .

Вычислим по формуле .

Запишем формулу косинуса двойного угла, где в виде

(2) формула косинуса половинного угла.

По формулам (1) и (2) можно найти или , если известны значения и положение угла , т.е. в какой координатной четверти он находится, чтобы определить знак выражения или .

Эти формулы ещё имеют название «формулы понижения степени», так как в левой части находится вторая степень синуса и косинуса, а в правой – первая, т.е. степень понизилась. Но будьте внимательны: степень понижается, а аргумент удваивается.

Пример. Известно, что . Найдите ; ;

1) найдём по формуле: ; .

По условию . Разделив обе части неравенства на 2, получаем , значит угол во второй четверти, здесь синус положительный. .

2) ; найдём по формуле ,

Мы уже выяснили, что угол во второй четверти, косинус отрицательный.

3) Так как тангенс это отношение синуса на косинус, то

  • Выведем формулу для тангенса половинного аргумента. Для этого разделим левую часть формулы (1) на левую часть формулы (2) и правую часть формулы (1) на правую часть формулы (2).

сократим на 2 , и учитывая, что , получим:

формула тангенса половинного аргумента (3).

Так как котангенс это число, взаимообратное тангенсу, то

Пример. Найти и , если известно, что и .

По формуле (3) находим , а Найдём положение угла

По условию ,( разделим на 2)

, угол в первой четверти, тангенс положительный, , а .

Для этого используем формулу синуса двойного угла , заменив в ней х на . Получаем , учтём, что , то

, разделим числитель и знаменатель на , получаем:

(4)

(5)

Пример. Найти , если .

По формуле (5) .

С помощью доказанных на этом уроке формул можно не только вычислять значения выражений, но и упрощать выражения, доказывать тождества и решать тригонометрических уравнений.

Представим , а , преобразуем левую часть тождества

, но , то

Левая часть равна правой части, тождество доказано.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Известно, что и . Найдите ; ;

Установите соответствие между множествами значений А и В:

а) 1)

б) cos 2)

в) tg 3)

5)

Читайте также: