Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента
Обновлено: 04.11.2024
3) Решение уравнения с использованием формулы синуса, косинуса половинного аргумента.
Глоссарий по теме
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Сегодня мы узнаем формулы, позволяющие нам по известным значениям ; находить ; ; . Их называют формулы половинного аргумента.
Повторим формулу косинуса двойного аргумента .
А если учесть, что и , то получим ещё две формулы, которые нам сегодня понадобятся:
и
Пример. а) Найти , если .
Вычислим по формуле
б) Найти , если .
Вычислим по формуле .
Запишем формулу косинуса двойного угла, где в виде
(2) формула косинуса половинного угла.
По формулам (1) и (2) можно найти или , если известны значения и положение угла , т.е. в какой координатной четверти он находится, чтобы определить знак выражения или .
Эти формулы ещё имеют название «формулы понижения степени», так как в левой части находится вторая степень синуса и косинуса, а в правой – первая, т.е. степень понизилась. Но будьте внимательны: степень понижается, а аргумент удваивается.
Пример. Известно, что . Найдите ; ;
1) найдём по формуле: ; .
По условию . Разделив обе части неравенства на 2, получаем , значит угол во второй четверти, здесь синус положительный. .
2) ; найдём по формуле ,
Мы уже выяснили, что угол во второй четверти, косинус отрицательный.
3) Так как тангенс это отношение синуса на косинус, то
- Выведем формулу для тангенса половинного аргумента. Для этого разделим левую часть формулы (1) на левую часть формулы (2) и правую часть формулы (1) на правую часть формулы (2).
сократим на 2 , и учитывая, что , получим:
формула тангенса половинного аргумента (3).
Так как котангенс это число, взаимообратное тангенсу, то
Пример. Найти и , если известно, что и .
По формуле (3) находим , а Найдём положение угла
По условию ,( разделим на 2)
, угол в первой четверти, тангенс положительный, , а .
Для этого используем формулу синуса двойного угла , заменив в ней х на . Получаем , учтём, что , то
, разделим числитель и знаменатель на , получаем:
(4)
(5)
Пример. Найти , если .
По формуле (5) .
С помощью доказанных на этом уроке формул можно не только вычислять значения выражений, но и упрощать выражения, доказывать тождества и решать тригонометрических уравнений.
Представим , а , преобразуем левую часть тождества
, но , то
Левая часть равна правой части, тождество доказано.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1.Известно, что и . Найдите ; ;
Установите соответствие между множествами значений А и В:
а) 1)
б) cos 2)
в) tg 3)
5)
Читайте также: