Выражение котангенса через синус
Обновлено: 21.11.2024
Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла поможет понять прямоугольный треугольник.
Как называются стороны прямоугольного треугольника? Всё верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза - это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона \( AC \) ); катеты – это две оставшиеся стороны \( AB \) и \( BC \) (те, что прилегают к прямому углу), причём, если рассматривать катеты относительно угла \( BC \) , то катет \( AB \) – это прилежащий катет, а катет \( BC \) - противолежащий. Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?
Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.
В нашем треугольнике:
Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.
В нашем треугольнике:
Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).
В нашем треугольнике:
Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).
В нашем треугольнике:
Эти определения необходимо запомнить! Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе. А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:
В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Не веришь? Тогда убедись, посмотрев на рисунок:
Рассмотрим, к примеру, косинус угла \( \beta \) . По определению, из треугольника \( ABC \) : \( \cos \beta =\dfrac=\dfrac=\dfrac \) , но ведь мы можем вычислить косинус угла \( \beta \) и из треугольника \( AHI \) : \( \cos \beta =\dfrac=\dfrac=\dfrac \) . Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.
Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!
Для треугольника \( ABC \) , изображённого ниже на рисунке, найдём \( \sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \) .
\( \begin\sin \ \alpha =\dfrac=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac=0,6\\tg\ \alpha =\dfrac\\ctg\ \alpha =\dfrac=0,75\end \)
Ну что, уловил? Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла \( \beta \) .
Ответы: \( \sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac \) .
Единичная (тригонометрическая) окружность
Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным \( 1 \) . Такая окружность называется единичной. Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.
Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси \( x \) (в нашем примере, это радиус \( AB \) ).
Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси \( x \) и координата по оси \( y \) . А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник \( ACG \) . Он прямоугольный, так как \( CG \) является перпендикуляром к оси \( x \) .
Чему равен \( \cos \ \alpha \) из треугольника \( ACG \) ? Всё верно \( \cos \ \alpha =\dfrac \) . Кроме того, нам ведь известно, что \( AC \) – это радиус единичной окружности, а значит, \( AC=1 \) . Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:
А чему равен \( \sin \ \alpha \) из треугольника \( ACG \) ? Ну конечно, \( \sin \alpha =\dfrac \) ! Подставим значение радиуса \( AC \) в эту формулу и получим:
Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка \( C \) , принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что \( \cos \ \alpha \) и \( \sin \alpha \) - это просто числа? Какой координате соответствует \( \cos \alpha \) ? Ну, конечно, координате \( x \) ! А какой координате соответствует \( \sin \alpha \) ? Всё верно, координате \( y \) ! Таким образом, точка \( C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha ) \) .
А чему тогда равны \( tg \alpha \) и \( ctg \alpha \) ? Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что \( tg \alpha =\dfrac=\dfrac \) , а \( ctg \alpha =\dfrac=\dfrac \) .
А что, если угол будет больше \( 90<>^\circ =\dfrac<\pi > \) ? Вот, к примеру, как на этом рисунке:
Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате \( y \) ; значение косинуса угла – координате \( x \) ; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.
Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора – вдоль положительного направления оси \( x \) . До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы, а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.
Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет \( 360<>^\circ \) или \( 2\pi \) . А можно повернуть радиус-вектор на \( 390<>^\circ \) или на \( -1140<>^\circ \) ? Ну конечно, можно! В первом случае, \( 390<>^\circ =360<>^\circ +30<>^\circ \) , таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении \( 30<>^\circ \) или \( \dfrac<\pi > \) .
Во втором случае, \( -1140<>^\circ =-360<>^\circ \cdot 3-60<>^\circ \) , то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении \( -60<>^\circ \) или \( -\dfrac<\pi > \) .
Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на \( 360<>^\circ \cdot m \) или \( 2\pi \cdot m \) (где \( m \) – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.
Ниже на рисунке изображён угол \( \beta =-60<>^\circ \) . Это же изображение соответствует углу \( -420<>^\circ ,-780<>^\circ ,\ 300<>^\circ ,660<>^\circ \) и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти углы можно записать общей формулой \( \beta +360<>^\circ \cdot m \) или \( \beta +2\pi \cdot m \) (где \( m \) – любое целое число)
\( \begin-420<>^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780<>^\circ =-60+360\cdot (-2);\\300<>^\circ =-60+360\cdot 1;\\660<>^\circ =-60+360\cdot 2.\end \)
Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:
\( \begin\sin \ 90<>^\circ =?\\\cos \ 90<>^\circ =?\\\text\ 90<>^\circ =?\\\text\ 90<>^\circ =?\\\sin \ 180<>^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180<>^\circ =\cos \ \pi =?\\\text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =?\\\text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =?\\\sin \ 270<>^\circ =?\\\cos \ 270<>^\circ =?\\\text\ 270<>^\circ =?\\\text\ 270<>^\circ =?\\\sin \ 360<>^\circ =?\\\cos \ 360<>^\circ =?\\\text\ 360<>^\circ =?\\\text\ 360<>^\circ =?\\\sin \ 450<>^\circ =?\\\cos \ 450<>^\circ =?\\\text\ 450<>^\circ =?\\\text\ 450<>^\circ =?\end \)
Вот тебе в помощь единичная окружность:
Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:
Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла. Ну что же, начнём по порядку: углу в \( 90<>^\circ =\dfrac<\pi > \) соответствует точка с координатами \( \left( 0;1 \right) \) , следовательно:
\( \text\ 90<>^\circ =\dfrac=\dfrac\Rightarrow \text\ 90<>^\circ \) - не существует;
Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в \( 180<>^\circ ,\ 270<>^\circ ,\ 360<>^\circ ,\ 450<>^\circ (=360<>^\circ +90<>^\circ )\ \) соответствуют точки с координатами \( \left( -1;0 \right),\text< >\left( 0;-1 \right),\text< >\left( 1;0 \right),\text< >\left( 0;1 \right) \) , соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.
Ответы:
\( \displaystyle \sin \ 180<>^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\( \displaystyle \cos \ 180<>^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\( \text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =\dfrac\Rightarrow \text\ \pi \) - не существует
\( \text\ 270<>^\circ =\dfrac\Rightarrow \text\ 270<>^\circ \) - не существует
\( \text\ 360<>^\circ =\dfrac\Rightarrow \text\ 2\pi \) - не существует
\( \sin \ 450<>^\circ =\sin \ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\sin \ 90<>^\circ =1 \)
\( \cos \ 450<>^\circ =\cos \ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\cos \ 90<>^\circ =0 \)
\( \text\ 450<>^\circ =\text\ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\text\ 90<>^\circ =\dfrac\Rightarrow \text\ 450<>^\circ \) - не существует
\( \text\ 450<>^\circ =\text\left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\text\ 90<>^\circ =\dfrac=0 \) .
Таким образом, мы можем составить следующую табличку:
Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:
А вот значения тригонометрических функций углов в \( 30<>^\circ =\dfrac<\pi >,\ 45<>^\circ =\dfrac<\pi > \) и \( 30<>^\circ =\dfrac<\pi >,\ 45<>^\circ =\dfrac<\pi > \) , приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:
Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:
Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла ( \( 30<>^\circ =\dfrac<\pi >,\ 45<>^\circ =\dfrac<\pi >,\ 60<>^\circ =\dfrac<\pi > \) ), а также значение тангенса угла в \( 30<>^\circ \) . Зная эти \( 4 \) значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:
\( \begin\sin 30<>^\circ =\cos \ 60<>^\circ =\dfrac\ \ \\\sin 45<>^\circ =\cos \ 45<>^\circ =\dfrac<\sqrt>\\\sin 60<>^\circ =\cos \ 30<>^\circ =\dfrac>\ \end \)
\( \text\ 30<>^\circ \ =\dfrac> \) , зная это можно восстановить значения для \( \text\ 45<>^\circ , \text\ 60<>^\circ \) . Числитель « \( 1 \) » будет соответствовать \( \text\ 45<>^\circ \ \) , а знаменатель « \( \sqrt> \) » соответствует \( \text\ 60<>^\circ \ \) . Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего \( 4 \) значения из таблицы.
Координаты точки на окружности
А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота? Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки. Вот, к примеру, перед нами такая окружность:
Нам дано, что точка \( K(_>;_>)=K(3;2) \) - центр окружности. Радиус окружности равен \( 1,5 \) . Необходимо найти координаты точки \( P \) , полученной поворотом точки \( O \) на \( \delta \) градусов.
Как видно из рисунка, координате \( x \) точки \( P \) соответствует длина отрезка \( TP=UQ=UK+KQ \) . Длина отрезка \( UK \) соответствует координате \( x \) центра окружности, то есть равна \( 3 \) . Длину отрезка \( KQ \) можно выразить, используя определение косинуса:
\( \cos \ \delta =\dfrac=\dfrac\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \) .
Тогда имеем, что для точки \( P \) координата \( x=_>+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \) .
По той же логике находим значение координаты y для точки \( P \) . Таким образом,
\( y=_>+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \) .
Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:
\( \beginx=_>+r\cdot \cos \ \delta \\y=_>+r\cdot \sin \ \delta \end \) , где
\( _>,_> \) - координаты центра окружности,
\( r \) - радиус окружности,
\( \delta \) - угол поворота радиуса вектора.
Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:
\( \beginx=_>+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y=_>+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end \)
Читайте также: