Выражение для вектора умова пойнтинга

Обновлено: 21.11.2024

Перенос энергии бегущей упругой и электромагнитной волной определяют при помощи вектора, который называют вектором потока энергии. Этот вектор обозначим как $\overline\ $(встречается обозначение $\overline$) Он показывает количество энергии, протекающее в волне за единицу времени через единицу площади поперечного сечения волны. Для электромагнитных волн данный вектор был введен Пойнтингом в 1884 г. Скорость переноса энергии при помощи вектора Пойнтинга не изменяется и равна характеристической скорости распространения электромагнитной волны в пространстве. Сейчас данный вектор ($\overline$) называют вектором Умова - Пойнтинга.

Определение

Вектором Умова - Пойнтинга ($\overline$) называют физическую величину, определяющую поток энергии электромагнитного поля, который равен:

где $\overline$ - напряженность электрического поля; $\overline$ - напряженность магнитного поля. Направлен $\overline$ перпендикулярно $\overline$ и $\overline$ и совпадает с направлением распространения электромагнитной волны.

Величина вектора Умова - Пойнтинга

Правая часть формулы (1) представляет собой векторное произведение векторов, значит, величина вектора Умова - Пойнтинга для электромагнитной волны равна:

где $\alpha $ - угол между векторами $\overline$ и $\overline$, но $\overline\bot $ $\overline$, следовательно, получаем для электромагнитной волны:

Вектор $\overline\ $удовлетворяет в свободном пространстве уравнению непрерывности:

где $w$ - объемная плотность энергии электромагнитного поля.

Вектор Умова - Пойнтинга плоской электромагнитной волны

В случае плоской электромагнитной волны величина вектора $\overline$ равна:

где $u$ $=\frac<\sqrt<<\mu >_0\mu \varepsilon _0>>$- фазовая скорость распространения электромагнитного возмущения в веществе с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon $ и магнитной проницаемостью $\mu .$

где $c$ - скорость света в вакууме.

Мгновенные величины напряженности магнитного и электрического полей в рассматриваемой волне связаны соотношением:

выразим напряженность $H$:

Учитывая формулу (8) величину вектора $\overline$ запишем как:

В изотропном веществе объемную плотность энергии электромагнитного поля найдем как:

Учитывая формулы (6) и (10) запишем еще одно выражение для величины вектора $\overline$:

На практике переходят от мгновенных величин к их средним значениям. Для плоской электромагнитной волны средняя величина по времени вектора Умова - Пойнтинга равна:

Модуль величины $\left|<\left\langle S\right\rangle >_t\right|$ называют интенсивностью ($I$) электромагнитной волны:

Направление вектора Умова - Пойнтинга показывает направление движения энергии в электромагнитном поле. Если изобразить линии, касательные к которым в любой точке совпадут с направлениями вектора $\overline$, то такие линии будут являться путями распространения энергии электромагнитного поля. В оптике это лучи.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. На рис.1 изображен вектор фазовой скорости плоской электромагнитной волны. В какой плоскости расположены векторы $\overline$ и $\overline$ полей этой волны?

Решение. Основой решения нашей задачи будем считать определение вектора $\overline$:

Вектор $\overline$ является результатом векторного произведения векторов$\overline$ и $\overline$, он направлен в сторону распространения электромагнитной волны, следовательно, $\overline\uparrow \uparrow \overline$, для рис.1 вектор Умова - Пойнтинга направлен по оси Z. Значит, векторы $\overlineи\ \overline$ лежат в плоскости XOY.

Ответ. XOY

Пример 2

Задание. Запишите модуль среднего вектора Умова - Пойнтинга электромагнитной волны: $\overline=E_0\ $Считайте, что волна распространяется в вакууме по оси X.

Решение. Модуль вектора Умова - Пойнтинга для электромагнитной волны:

где $E$ и $H$ - мгновенные значения электрического и магнитного полей. Мгновенное значение вектора Умова - Пойнтинга будет равно:

\[S=EH=E_0H_0^2 \left(\omega t-kx\right)(2.2),\ >\]

где $H_0$ - амплитуда колебаний напряженности магнитного поля.

Средняя величина $<\left\langle S\right\rangle >_t$ может быть найдена:

принимая во внимание, что $<\left\langle <^2 \left(\omega t-kx\right)\ >\right\rangle >_t=\frac$, для вакуума имеем:

Читайте также: