Выражение для магнитного поля диполя
Обновлено: 22.12.2024
К магнитному диполю относят небольшую петлю с током. Слово «небольшая» означает, что размеры витка с током немного меньше, чем геометрические величины, характеризующие размеры петли. Любая петля с током может создавать магнитное поле, которое можно уподобить электрическому при помощи электрического диполя. Магнитный диполь обладает магнитным моментом p m → и электрическим моментом диполя p e → = q l → .
Выражение I S → = p m → ( 1 ) получило название момента магнитного диполя.
По формуле ( 1 ) видно, что величина по модулю равняется произведению силы тока, протекающего в контуре, на площадь, охваченную им. Магнитный момент и положительная нормаль к поверхности S имеют одинаковое направление. Значение векторного потенциала магнитного диполя по формуле определено как:
A → r → = μ 0 4 π p m → × r → r 3 ( 2 ) .
Магнитное поле, создающее магнитный диполь, запишется:
B → = μ 0 4 π 3 p m → · r → r → r 5 - p m → r 3 ( 3 ) .
Если даны большие расстояния от диполя в любом направлении, то наблюдается пропорциональные r 3 убывание поля и рост площади витка.
Слово диполь в применении к токам запутывает, так как не имеет отдельных магнитных полюсов, соответствующих электрическим зарядам. Создание магнитного «дипольного» поля происходит за счет элементарной петли с током, а не при помощи двух зарядов.
Взаимодействие магнитных диполей
Из данного представления о магнитном диполе как о витке с током можно представить следующую схему взаимодействия магнитных диполей. Один из витков ( 1 ) тока создает магнитное поле, описываемое формулой ( 3 ) , другой ( 2 ) , находясь в нем, взаимодействует с полем. Если магнитный диполь создает поле, но оно не значится однородным, то B → ≠ c o n s t . Следовательно, действующая сила магнитного поля на виток с током не равняется нулю. Элемент контура ( 2 ) подвергается силе d F → , перпендикулярной к вектору индукции поля, B → , создающего диполь ( 1 ) , то есть к линии в месте пересечения ее с элементом витка d l → . Отсюда следует, что прилагаемые к разным элементам контура (магнитного диполя 2 ) силы имеют форму симметричного конусного веера. Направление их результирующей идет вдоль стороны возрастания магнитной индукции поля, это говорит о втягивании диполя к стороне более сильного поля.
При неизменной ориентации магнитного момента диполя ( 2 ) , постоянной по отношению к полю диполя ( 1 ) , легко находится количественное выражение для силы взаимодействия диполей. Зависимость потенциальной энергии механического взаимодействия диполей W p m от x (через B ) возможно по формуле:
F x = - ∂ W p m ∂ x = p m 2 ∂ B 1 ∂ x cos a ( 4 ) , где B 1 является индукцией поля, создаваемого магнитным диполем ( 1 ) , p m 2 – магнитным моментом диполя ( 2 ) , a – углом между вектором поля и вектором магнитного момента. Некоторые случаи говорят об слабом изменении поля при других направлениях:
F = F x = p m 2 ∂ B 1 ∂ x cos a ( 5 ) .
Из выражения ( 5 ) видно, что сила, действующая на магнитный диполь в поле другого диполя, находится в зависимости от взаимной ориентации магнитных моментов. Когда вектор p m 2 → ↑ ↑ B 1 → ( a = 0 ) , тогда значение силы взаимодействия диполей положительная и направлена в сторону возрастания B 1 → (считается, что ∂ B 1 ∂ x > 0 ), кроме силы F .
При действии на контур с током вращательного момента M → :
M → = p m 2 → B 1 → ( 6 ) .
Модуль вектора М запишется как:
M = p m 2 B sin a ( 7 ) .
Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать заданиеЭнергия диполь-дипольного взаимодействия
Допустим, что два диполя обладают магнитными моментами p m i → , p m j → и располагаются в точках, определенных радиус-векторами r i → r j → . Тогда запись энергии их взаимодействия имеет вид:
W i j = - p m i → , B j → p m j → , r j → = - μ 0 4 π p m i → , 3 p m j → · r → r → r 5 - p m j → r 3 ( 8 ) .
Энергия диполь-дипольного взаимодействия зависит от взаимного расположения диполей.
Провести сравнение поля электрического диполя и поля магнитного диполя.
Решение
Формула напряженности поля электрического диполя записывается как:
E → = 1 4 πε 0 ε 3 p e → · r → r → r 5 - p e → r 3 ( 1 . 1 ) , где p e → = q l → является электрическим моментом диполя.
По выражению ( 1 . 1 ) наблюдается убывание напряженности поля диполя пропорционально третьей степени расстояния от диполя до точки, в которой рассматривается данное поле.
Создаваемое магнитным диполем магнитное поле запишется как:
B → = μ 0 4 π 3 p m → · r → r → r 5 - p m → r 3 ( 1 . 2 ) , p m → = I S → обозначает магнитный момент магнитного диполя.
Следуя из ( 1 . 1 ) , ( 1 . 2 ) , поведение магнитного и электрического полей аналогичное. Это способствовало тому, чтобы элементарный ток стали называть магнитным диполем. Их схожесть объясняется возникновением дипольных полей при нахождении наблюдателя далеко относительно токов и зарядов. Тогда в большей части пространства уравнения для напряженности электрического поля и индукции магнитного схожи по форме. Дивергенция и ротор у них равняются нулю. Это говорит о том, что решения будут аналогичными. Но источники, конфигурацию которых мы описываем при помощи дипольных моментов, физически сильно отличаются. В магнитном поле – это ток, в электрическом – заряды.
Пример 2Показать, что энергия диполь-дипольного взаимодействия находится в зависимости от взаимной ориентации диполей.
Решение
Для решения необходимо применить формулу энергии магнитного взаимодействия полей, которая имеет вид:
W i j = - p m i → , B j → p m j → , r j → = - μ 0 4 π p m i → , 3 p m j → · r → r → r 5 - p m j → r 3 ( 2 . 1 ) .
Где p m i → , p m j → являются магнитными моментами диполей, r i → , r j → – радиус-векторами, определяющими положения диполей.
Произведем преобразование ( 2 . 1 ) , тогда:
W i j = μ 0 4 π p m j p m i r i j 2 - 3 r i j p m j r i j p m i r i j 5 = μ 0 4 π p m j p m j cos υ i j - 3 cos υ j cos υ i r i j 3 ( 2 . 2 ) , с r i j = r i - r j , υ i j , являющимся углом между векторами p m i → , p m j → .
Из ( 2 . 2 ) понятно, что энергия W i j находится в зависимости от взаимного расположения диполей. Для пары диполей с одинаковыми дипольными моментами p m j = p m i = p , с их горизонтальной параллельной ориентацией выявляется минимальность энергии взаимодействия диполей. Запишем в виде получившегося выражения:
Читайте также: