Выражение для коэффициента пуассона
Обновлено: 22.12.2024
Обратимся к рассмотрению деформации твердого тела. В рассматриваемом процессе происходит изменение размеров, объема и часто формы тела. Так, относительное продольное растяжение (сжатие) объекта происходит при его относительном поперечном сужении (расширении). При этом продольная деформация определена формулой:
Однако, при растяжении (сжатии) происходит не только изменение длины образца, но и при этом меняются поперечные размеры тела. Деформация в поперечном направлении характеризуется величиной относительного поперечного сужения (расширения):
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Коэффициентом Пуассона называют абсолютную величину, равную частному относительного поперечного сужения (расширения) ( ) к относительному продольному удлинению (сжатию) ( ). Обозначают коэффициент Пуассона обычно буквами: , . Встречаются и другие обозначения. Математически определение коэффициента Пуассона выглядит как:Эмпирически получено, что при упругих деформациях выполняется равенство:
Коэффициент Пуассона в совокупности с модулем Юнга (E) является характеристикой упругих свойств материала.
Коэффициент Пуассона при объемной деформации
Если коэффициент объемной деформации ( ) принять равным:
Часто в формуле (6) отбрасывают члены малых порядков и используют в виде:
Для изотропных материалов коэффициент Пуассона должен находиться в пределах:
Существование отрицательных значений коэффициента Пуассона означает, что при растяжении поперечные размеры объекта могли бы увеличиваться. Это возможно при наличии физико-химических изменений в процессе деформации тела. Материалы, у которых коэффициент Пуассона меньше нуля называют ауксетиками.
Коэффициент Пуассона и пластическая деформация
Выражение (4) выполняется и при пластических деформациях, однако в таком случае коэффициент Пуассона зависит от величины деформации:
С ростом деформации и возникновении существенных пластических деформаций Опытным путем установлено, что пластическая деформация происходит без изменения объема вещества, так как этот вид деформации возникает за счет сдвигов слоев материала.
Единицы измерения
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1| Задание | Резиновый шланг имеет длину и внутренний диаметр . Шланг растянули, при этом его длина увеличилась на . Коэффициент Пуассона материала шланга равен Каким стал внутренний диаметр шланга (d) в натянутом состоянии? |
| Решение | Если шланг растянули, то его внутренний диаметр уменьшился на величину ( ), равную: |
По закону Гука мы имеем:
В таком случае из (1.1) и (1.2) получим:
Так как , то искомая величина равна:
ПРИМЕР 2| Задание | Проволока из металла, имеющая коэффициент Пуассона висит вертикально. Каким будет изменение объема проволоки, если к ней привязать груз, имеющий массу . Длина проволоки Модуль Юнга для данной проволоки равен E. |
| Решение | Будем считать имеющуюся проволоку цилиндрической. Тогда объем проволоки до растяжения будет равен: |
Растянутая проволока имеет объем равный:
Изменение объема проволоки будет равно:
Величинами можно пренебречь, так как они очень малы, тогда выражение (2.3) можно записать как:
Учтем выражение (2.1) и то, что в наших обозначениях коэффициент Пуассона равен:
то (2.4) примет вид:
Из закона Гука имеем:
Запишем второй закон Ньютона:
В проекции на ось Y, имеем:
По третьему закону Ньютона:
Учитывая формулы (2.7) и (2.9) запишем выражение для изменения объёма проволоки в виде:
Читайте также: