Выражение для фазы волны
Обновлено: 22.12.2024
Волна формально является периодической функцией своего параметра. Функционально волна в однородно параметризованном пространстве–времени t "распространяется" в соответствии с гармоническим уравнением
A = A₀ sin φ = sin2πn, (1)
где A₀ и A – амплитуда и текущее значение "напряженности" волнового поля в конкретной точке пространства,
– текущее значение фазы в этой же точке. Параметр φ выступает в роли универсального параметра состояния. Физический смысл ее – закономерное упорядочение на множестве состояний "фаза" пространства, в чем то эквивалентное физическому времени.
Это наиболее обобщенная форма записи уравнения волны в пространстве. Но в пространстве, которое нам интересно, каждая точка имеет координаты. И первое – это текущее время. С учетом времени уравнение волны записывается так (см. Рисунок 1):
A = A₀ sin(2πω t + φ ᵥ), (2)
Здесь 2 π ω t + ᵥ – текущее значение "фазы" φ волнового поля в момент времени t,
φ ᵥ – начальная фаза волны в начальный момент времени,
ω - "частота" волнового поля. В данной форме записи (2) с множителем 2π она задает количество n волн в единицу времени.
Рисунок 1 График синусоидальной волны Рисунок 1 График синусоидальной волныКстати, эталонные часы, используемые в технике, да и в быту, основаны именно на подсчете количества эталонных периодов волн n специального атомного эталона времени. С появлением данного метода секунда начала соответствовать 9 192 631 770 колебаний электромагнитного излучения, которое возникает в процессе перехода между двумя уровнями сверхтонкой структуры атома цезия-133.
В пространстве, в котором мы существуем, процесс распространения волн связан дополнительно с определенным направлением распространения фронта волны и соответствующими параметрами. Найдем вид функции A(t, r) в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, что бы ось x совпадала с направлением распространения волны, а оси y и z перпендикулярны ей. Тогда и волновые поверхности будут перпендикулярны к оси x и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, напряженность волны A будет зависеть только от x и t:
Пусть колебания точек, лежащих в плоскости x = 0, имеет вид
A(0, t) = Asin2 π ωt. (5)
Найдем вид колебаний частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Для того чтобы пройти путь от плоскости x = 0 до плоскости с координатой x, волне потребуется время:
c – изотропная скорость распространения фронта волны,
Следовательно, колебания частиц, находящихся в плоскости х, будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости x = 0, т.е. уравнение колебаний точки, находящейся на расстоянии x от источника колебаний будет иметь вид:
A(x, y) = Asin2πω(t – x/c). (7)
Итак, уравнение плоской волны запишется следующим образом:
A = Asin2πω(t – x/c). (8)
Обратите внимание на знак "–" в этом уравнении.
Интересно посмотреть уравнение этой волны при t = const, или t = 0:
Инварианты уравнения волны
Процесс существования волн сам по себе обладает инвариантными параметрами. В галилеевом пространстве инвариантами являются промежуток времени и расстояние между двумя точками. Если промежуток времени между любыми точками ПВ действительно является инвариантом, то расстояние будет инвариантом только для одновременных точек. Волновое поле добавляет еще один инвариант. Им является фаза j волны в произвольной точке пространства-времени (ПВ), начальная фаза j0 в начале координат. Но эти параметры зависимы от системы координат. Инвариантом, независимым от системы координат, являются разность фаз между любыми точками ПВ и количество волн n между ними. Кстати, эти инварианты является даже более общими инвариантами по сравнению с инвариантом "время" галилеева пространства . Ими можно пользоваться в любом ПВ, не только галилеевом. Разность фаз Δφ непосредственно связана с количеством волн n:
Δ = 2πω ( t – Δx/c) = 2πΔ n. (10)
Физически параметр фазы волны n тесно связан с временем t и частотой w: это количество волн, разделяющих два значения времени – начала и конца отсчета времени.
На основе этой формулы вводится 4–мерное метрическое понятие " интервала " s:
Если разность фаз зависит от частоты, то инвариант Δs уже не зависит от частоты используемой волны. Но у нее есть один недостаток – ее значение зависит от направления распространения волны. Поэтому ее можно назвать "линейным" инвариантом. От этого недостатка можно избавиться, направив волну непосредственно между двумя "пробными" точками, и тогда этот инвариант уже будет абсолютным. В этом случае разность фаз между ними примет максимальное значение.
В реальном ПВ для получения этого однозначного результата организуется 4 взаимно ортогональных (т.е. перпендикулярных) волновых поля φ ᵤ , и в качестве волновых координат берутся значения разности фаз этих 4–х полей в конкретной точке ПВ. Одна из этих полей будет представлять часы (2), а остальные три – пространственные значения расстояния между этими точками, как в декартовой системе координат (7), при неизменном времени специальной теории относительности А.Эйнштейна. И "собственное время" движущегося материального объекта определяется через нее. И время в знаменитом парадоксе близнецов - тоже результат применения этого интервала. И система координат в ней определяется именно так. В парадигме времени СТО количество волн, отсчитываемых представленными выше атомными часами и постоянно находящихся рядом с близнецами, отсчитывают "реальное" время их жизни. Вроде бы все логично – время жизни человека определяется количеством колебаний молекул, составляющих его тело, а они строго пропорциональны количеству колебаний атомных часов.
Как видно из вышеизложенного, все очень просто в своей основе.
Если хотите узнать, что обозначает слово или словосочетание, в ОПЕРЕ выделите это слово(сочетание), нажмите правую клавишу мыши и выберите "Искать в . ", далее - "Yandex". Если это текстовая ссылка – выделите ее, нажмите правую клавишу мыши, выберите "перейти …". Все! О-ля-ля!
Если вам понравилась статья, то поставьте "лайк" и подпишитесь на канал! Если не понравилась – все равно комментируйте и подписывайтесь. Этим вы поможете каналу.
Читайте также: