Выражение для центростремительного ускорения
Обновлено: 04.10.2024
Движение по окружности часто встречается в природе и в деятельности человека. По окружности движутся спутники вокруг Земли (при упрощенном рассмотрении, на самом деле по эллиптической орбите), по окружности двигаются детали механизмов, ободы колес, шестерен, движение по окружности возникает при движении машин по закруглению дороги и так далее.
Рассмотрим равномерное движение тела по окружности.
Вектор скорости в таком случае направлен по касательной к окружности, и при движении не меняется по модулю, но, очевидно, изменяется по направлению.
Изобразим такое движение на схеме:
На схеме видно, как точка движется по окружности, из начального положения M переходит последовательно в положения М₁, М₂, М₃. Очевидно, что модуль вектора скорости в этих положениях не изменяется, а вектор всегда направлен по касательной окружности в этой точке.
Рассмотрим внимательнее перемещение точки из положения М в положение М₁ за интервал времени 𝛥t.
Отметим на рисунке векторы скоростей:
скорость точки в положении М скорость точки в положении М₁Эти скорости по модулю равны:
вектор изменения скорости.Найдем изменение скорости. Для этого надо из конечного вектора скорости вычесть вектор скорости в начальной точке:
Среднее ускорение за время 𝛥t по определению (ускорение есть изменение скорости за промежуток времени) будет равно:
Найдем модуль и направление вектора ускорения.
Снова рассмотрим схему:
На схеме отмечены векторы:
вектор перемещенияИ с помощью векторного вычитания отметим разность векторов скорости:
разность векторов (М₁АВ)Для того, чтобы определить модуль среднего ускорения нам необходимо углубиться в геометрию.
Рассмотрим треугольники ОММ₁ и М₁АВ.
Это подобные треугольники. Докажем это:
во-первых, треугольники ОММ₁ и М₁АВ равнобедренные:
У треугольника ОММ₁ стороны ОМ = ОМ₁ (т.к. это радиусы окружности, по которой движется точка).
У треугольника М₁АВ стороны М₁А = АВ — так как это векторы скорости, их длина (модуль) не меняется во время движения.
Во-вторых, у треугольников ОММ₁ и М₁АВ равные углы при вершинах.
Эти углы равны, т.к. сторона ОМ треугольника ОММ₁ перпендикулярна стороне АВ треугольника М₁АВ, а сторона ОМ₁ треугольника ОММ₁ перпендикулярна стороне М₁А треугольника М₁АВ
(ведь ОМ и ОМ₁ — это радиусы окружности, а АВ и М₁А — это векторы скорости, направленные по касательной к окружности, а значит перпендикулярно радиусу).
Из курса геометрии вспомним теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами: стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180º.
В нашем случае очевидно что оба угла острые, соответственно они равны.
Снова вспоминаем курс геометрии, а именно теорему о подобии треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
В нашем случае эти условия выполняются, стало быть треугольники ОММ₁ и М₁АВ подобны.
Для подобных треугольников мы можем составить пропорцию:
Вернемся из геометрии к физическому смыслу сторон наших треугольников, и запишем пропорцию в виде:
Разделим обе части равенства на промежуток времени 𝛥t:
Умножим обе части равенства на модуль скорости v:
Но ведь отношение разности скоростей к промежутку времени — это среднее ускорение:
а отношение вектора перемещения к промежутку времени — это средняя скорость:
Но нам необходимо найти модуль мгновенного ускорения. Для этого мы должны взять предельный случай, когда промежуток времени 𝛥t стремится к нулю.
Читайте также: