Выражение для амплитуды затухающих колебаний

Обновлено: 16.05.2024

Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением (рис. 4.3). Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего колебания затухают.

По второму закону Кирхгофа:

(4.3.1)

, или

Обозначим – коэффициент затухания и, учитывая, что собственная частота контура , получим уравнение затухающих колебаний в контуре с R, L и С:

(4.3.2)

При , т.е. , решение этого уравнения имеет вид:

где – частота затухающих колебаний контура, или , т.е. .

На рис. 4.4 показан вид затухающих колебаний заряда q и силы тока I. Если сравнить электрические затухающие колебания с механическими (рис. 3.1), то хорошо видны общие закономерности этих явлений: колебаниям q соответствует x – смещение маятника из положения равновесия, силе тока I – скорость υ.

Затухание принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания χ:

(4.3.3)

где A – амплитуда I, U, q.

Найдём выражение χ для электрических колебаний. Т.к.

, ,

Поскольку R, L, ω определяются параметрами контура, следовательно χ является характеристикой контура.

Если затухание невелико, т.е. , то тогда

(4.3.4)

Колебательный контур часто характеризуют добротностью Q, которая определяется как величина, обратно пропорциональная χ: , а т.к. , где N – число колебаний, то , т.е. добротность Q тем больше, чем больше колебаний успевает совершиться, прежде чем амплитуда уменьшится в е раз.

Добротность определяется и по-другому:

(4.3.5)

где W – энергия контура в данный момент, ΔW – убыль энергии за один период, следующий за этим моментом.

При т.е. при , происходит апериодический разряд (рис. 4.5).

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим сопротивлением . Найдем это сопротивление из равенства:

(4.3.6)

где R_вол – волновое сопротивление, определяемое параметрами L и C.

Читайте также: