Выражение для амплитуды затухающих колебаний
Обновлено: 04.11.2024
Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением (рис. 4.3). Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего колебания затухают.
По второму закону Кирхгофа:
. | (4.3.1) |
, или
Обозначим – коэффициент затухания и, учитывая, что собственная частота контура , получим уравнение затухающих колебаний в контуре с R, L и С:
. | (4.3.2) |
При , т.е. , решение этого уравнения имеет вид:
где – частота затухающих колебаний контура, или , т.е. .
На рис. 4.4 показан вид затухающих колебаний заряда q и силы тока I. Если сравнить электрические затухающие колебания с механическими (рис. 3.1), то хорошо видны общие закономерности этих явлений: колебаниям q соответствует x – смещение маятника из положения равновесия, силе тока I – скорость υ.
Затухание принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания χ:
, | (4.3.3) |
где A – амплитуда I, U, q.
Найдём выражение χ для электрических колебаний. Т.к.
, ,
.
Поскольку R, L, ω определяются параметрами контура, следовательно χ является характеристикой контура.
Если затухание невелико, т.е. , то тогда
. | (4.3.4) |
Колебательный контур часто характеризуют добротностью Q, которая определяется как величина, обратно пропорциональная χ: , а т.к. , где N – число колебаний, то , т.е. добротность Q тем больше, чем больше колебаний успевает совершиться, прежде чем амплитуда уменьшится в е раз.
Добротность определяется и по-другому:
, | (4.3.5) |
где W – энергия контура в данный момент, ΔW – убыль энергии за один период, следующий за этим моментом.
При т.е. при , происходит апериодический разряд (рис. 4.5).
Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим сопротивлением . Найдем это сопротивление из равенства:
,
, | (4.3.6) |
где Rвол – волновое сопротивление, определяемое параметрами L и C.
Читайте также: