Выражение длины отрезка через координаты его концов
Обновлено: 07.07.2024
Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой. Точки – концы отрезка.
Общеизвестный факт, что каждая точка А плоскости имеет свои координаты (х, у).
В данном примере вектор AB задан координатами (х2— х1, y2— y1). Квадрат длины вектора будет равен сумме квадратов его координат. Следовательно, расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, вычисляется согласно формуле:
Эта формула длины отрезка предоставляет возможность рассчитывать расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек
Вышеуказанную формулу длины отрезка можно доказать и другим способом. В системе координат заданы координаты крайних точек отрезка координатами его концов(х1y1) и (х2,у2).
Прочертим прямые лини через эти точки перпендикулярно к осям координат, в результате имеем прямоугольный треугольник. Первоначальный отрезок является гипотенузой образовавшегося треугольника. Катеты треугольника сформированы отрезками, их длиной будет проекция гипотенузы на оси координат.
Установим длину этих проекций.
На ось у длина проекции равна y2 - y1, а на ось х длина проекции равна х2 - х1. На основании теоремы Пифагора видим, что |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1)².
В рассмотренном случае |AB| выступает длиной отрезка.
Вычислим длину отрезка АВ, для этого извлечем квадратный корень. Результатом является все та же формула длины отрезков по известным координатам конца и начала.
Читайте также: