Выражение через координаты сомножителей

Обновлено: 21.03.2025

Выражения, окаймленные вертикальными чертами, — определители второго порядка (§ 12).

Практическое правило. Чтобы получить координаты вектора составим таблицу

Закрыв в ней первый столбец, находим первую координату

Закрыв второй столбец и взяв оставшийся определитель с обратным знаком или, что то же, находим вторую координату.

Закрыв третий столбец (оставшийся определитель берется снова со своим знаком), находим третью координату.

Пример 1. Найти векторное произведение векторов Решение. Составляем таблицу

Закрыв первый столбец, получаем первую координату

Закрыв второй столбец, находим определитель

Переставляя в нем столбцы (при этом знак меняется на обратный), получаем вторую координату .

Закрыв третий столбец, получаем третью координату .

Замечание. Чтобы не ошибиться в знаке при вычислении второй координаты, можно вместо таблицы (2) пользоваться таблицей

получаемой из (2) приписыванием первых двух столбцов. Закрыв в (3) первый столбец, берем подряд следующие два. Затем, закрыв еще и второй столбец, берем подряд следующие два. Наконец, закрыв и третий столбец, берем последние два. Ни в одном из трех полученных определителей не надо переставлять столбцы.

Пример 2. Найти площадь треугольника, заданного вершинами

Решение. Искомая площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и Находим (§ 99) . Площадь параллелограмма