Выражение биссектрисы через стороны треугольника
Обновлено: 22.12.2024
Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.
I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.
Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.
Соответственно, длина биссектрисы равна квадратному корню из разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.
Дано:
Доказательство:
Опишем около треугольника ABC окружность и продлим биссектрису CF до пересечения с окружностью в точке D. Соединим точки A и D отрезком.
Рассмотрим треугольники BCF и DCA.
∠BCF=∠DCA (по условию);
Значит, треугольники BFC и DCA подобны (по двум углам).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
Что и требовалось доказать.
II. Через три стороны треугольника
Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон a, b и c по формуле
По свойству биссектрисы треугольника:
Согласно утверждению 1,
Что и требовалось доказать.
III Через две стороны треугольника и угол между ними.
Длина биссектрисы треугольника через две стороны, образующие угол, из вершины которого исходит биссектриса, и угол между этими сторонами выражается по формуле
Читайте также: