Выражение арктангенса через логарифм

Обновлено: 04.11.2024

Выражение обратных тригонометрических функций через логарифм

Здесь стоит подчеркнуть, что все эти функции многозначны и обозначают всю совокупность значений в целом. Везде подразумевается, что квадратный корень имеет два знака: "+" и "–", а логарифм имеет бесконечное множество значений, отличающихся на 2πin , где n - целое. То есть, например, под арксинусом имеется в виду вся совокупность значений:
.
Такое правило распространяется на все многозначные функции комплексного переменного и их названия начинаются с большой буквы. Названия с маленькой буквы означают однозначную ветвь функции, заданной на определенной области Римановой поверхности.

Ниже приводится вывод этих формул.

Арксинус

Пусть f = arcsin z .

Чтобы выразить arcsin z через элементарные функции, решаем уравнение:

Выразим sin f через комплексные переменные:

Умножим на 2 i e if


Решаем квадратное уравнение

Логарифмируем


Умножаем на -i

Главная ветвь арксинуса


На рисунке изображена главная ветвь арксинуса. Остальные ветви получились бы, если продлить перевернутую синусоиду вверх и вниз.

Далее следует разобраться со знаком ± . С точки зрения комплексных переменных, квадратный корень всегда имеет два значения, различающихся знаком плюс и минус . Поэтому корень всегда подразумевает неоднозначность. Выберем такой знак, чтобы формула была справедлива для главного значения арксинуса. То есть для действительных значения арксинуса f = arcsin z должны находится в интервале

Рассмотрим знак + . Положим z = 0 .

То есть знак + соответствует главному значению арксинуса, которое имеет множество значений при

Если мы возьмем знак – , то

То есть знак – соответствует ветви арксинуса, которая имеет множество значений при

Остальные ветви получаются вследствие многозначности логарифма. Выразим выражение под знаком логарифма через модуль r и аргумент φ :

где n - целое. Тогда

То есть многозначность логарифма дает ветви, которые отстоят друг от друга на величину 2 π , что соответствует периоду синуса.

Арккосинус

Выполняем аналогичные вычисления для арккосинуса. Пусть f = arccos z .

Рассмотрим уравнение:

Умножим на 2 e if



Логарифмируем


Главная ветвь арккосинуса


На рисунке изображена главная ветвь арккосинуса. Остальные ветви получились бы, если продлить перевернутую синусоиду вверх и вниз.

Если взять знак + , то при z = 0 имеем:

Знак + соответствует главному значению арккосинуса, которое имеет множество значений при

Если бы мы взяли знак – , то

То есть знак – соответствует ветви арккосинуса, которая имеет множество значений при .

Арктангенс

Для арктангенса, пусть f = Arctg z .

Рассмотрим уравнение:

Умножим числитель и знаменатель на e if и выполняем преобразования




Логарифмируем:
;
.

Рассмотрим действительные z . Представим комплексную функцию под знаком логарифма в алгебраической форме:
,
где .

Комплексная функция w=(1+iz)/(1-iz)


Комплексная функция при действительных z .

При . Это соответствует главному значению арктангенса, .

При . При этом аргумент функции возрастает от до : . Тогда
.

При . При этом аргумент функции убывает от до : . Тогда .

Главная ветвь арктангенса


На рисунке изображена главная ветвь арктангенса. Остальные ветви расположены периодически вверх и вниз по вертикальной оси.

Все это соответствует главному значению арктангенса, у которого
;
.

Итак,
.
Мы можем образовать листы Римановой поверхности, подчинив их условию:
.
Тогда лист с , при действительных z , даст нам главное значение арктангенса. На остальных листах к функции w добавится множитель , что приведет к увеличению значения арктангенса на . Эти значения соответствуют другим ветвям арктангенса.

Арккотангенс

Пусть f = arcctg z .

Рассмотрим уравнение:
или

Это уравнение такое, как для тангенса, только нужно заменить z на :
;
.

Также рассмотрим действительные z . Представим комплексную функцию под знаком логарифма в алгебраической форме:
,
где .

Комплексная функция w=(iz-1)/(iz+1)


Комплексная функция при действительных z .

При . Это соответствует главному значению арккотангенса, .

При . При этом аргумент функции убывает от до : . Тогда .

При . При этом аргумент функции возрастает от до : . Тогда .

Главная ветвь арккотангенса


На рисунке изображена главная ветвь арккотангенса. Остальные ветви расположены периодически вверх и вниз по вертикальной оси.

Все это соответствует главному значению арккотангенса, у которого
;
.

Итак,
.
Мы можем образовать листы Римановой поверхности, подчинив их условию:
.
Тогда лист с , при действительных z , даст нам главное значение арккотангенса. На остальных листах к функции w добавится множитель , что приведет к увеличению значения арккотангенса на . Эти значения соответствуют другим ветвям арктангенса.

Читайте также: