В каком случае эквиваленция двух высказываний является истинной
Обновлено: 21.11.2024
Эта логическая операция соответствует в обыденной жизни частице «не».
Определение. Отрицанием высказывания x называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание ложно, и ложным, если высказывание x истинно.
Отрицание высказывания x обозначается и читается не x . Логические значения высказывания модно описать с помощью таблицы, которая называется таблицей истинности:
Пусть x высказывание. Так как тоже высказывание, то можно образовать отрицание высказывания , то есть высказывание , которое является двойным отрицанием высказывания x . Логические значения высказываний и x совпадают.
2. Дизъюнкция (логическое сложение).
Эта логическая операция соответствует союзу «или».
Определение. Дизъюнкцией двух высказываний x , y называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний x или y истинно и ложным, если они оба ложны.
Дизъюнкция высказываний x , y обозначается x y и читается « x или y ». Логические значения дизъюнкции описываются таблицей истинности:
Высказывания x , y называются членами дизъюнкции.
x – «5>3», y – «2>4». Тогда x y – «5>3» «2>4» истинно, так как истинно высказывание x .
В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в неисключающем смысле. Из определения дизъюнкции и отрицания следует, что высказывание x всегда истинно.
Эта логическая операция соответствует союзу «и».
Определение. Конъюнкцией двух высказываний x , y называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания x , y истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.
Конъюнкция высказываний x , y обозначается и читается « x и y ». Высказывания x , y называются членами конъюнкции. Логические значения конъюнкции описываются следующей таблицей истинности:
x – «6 делится на 2», y – «6 делится на 3». Тогда – «6 делится на 2» «6 делится на 3» истинно.
Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания, далеких друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается конъюнкция двух любых высказываний.
Из определения операций конъюнкции и отрицания следует, что высказывание всегда ложно.
Эта логическая операция соответствует словам «если …, то…».
Определение. Импликацией двух высказываний x , y называется новое высказывание, которое считается ложным, если x истинно, а y ложно, и истинным во всех остальных случаях.
Употребление слов «если …, то…» в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, когда, как правило, считается, что если высказывание x ложно, то высказывание «если x , то y » вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложение «если x , то y » в обыденной речи всегда подразумевается, что предложение y вытекает из предложения x . Употребление слов «если…, то…» в математической логике не требует этого, так как в ней смысл высказываний не рассматривается.
1. Эквиваленция .
Эта логическая операция соответствует словам «тогда и только тогда, когда».
Определение. Эквиваленцией или эквивалентностью двух высказываний x , y называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания x , y либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.
Читайте также: