Упростите формулу логики высказываний

Обновлено: 09.04.2025

490 дн. с момента
ДО ЛЕТА!

Законы алгебры логики. Упрощение логических выражений.

Так же как и в привычной нам алгебре есть законы упрощения выражений, в алгебре логики действуют законы алгебры логики. Для удобства обработки информации алгебраические и логические выражения принято упрощать или приводить к нормальному виду.

Большинство законов обеих алгебр схожи и уже знакомы вам. И лишь несколько вы узнаете впервые и, возможно, удивитесь.

Упрощение сложных высказываний - это замена их на равносильные на основе законов алгебры высказываний с целью получения высказываний более простой формы.

Нормальная форма выражений - это выражение где нет знаков операций импликации и эквивалентности, а инверсия применена только к отдельным высказываниям.

Для обрабатывания выражений вы должны свободно ориентироваться между обозначениями операций. Основные три из них имеют следующие варианты обозначений:

Инверсия (отрицание): Ø , ` A , не .

Конъюнкция (умножение): & , L , × .

Дизъюнкция (сложение): V, + .

Для удобства записи и большей наглядности можно записывать знаки операций в логических выражениях в более привычной нам форме: умножение - знаком × , а сложение - знаком +.

Иначе говоря, упростить выражение - это найти в нём законы логики и их применить!

Первое, что надо знать для упрощения - формулы замены операций (которых не должно быть в нормальной форме записи логических выражений):

Итак, а теперь сами законы алгебры логики:

Чтобы ими пользоваться их надо знать, т.е. выучить. Но на самом деле эти законы во многом повторяю законы обычной алгебры.

Закон двойного отрицания напоминает нам ситуацию, когда "минус на минус даёт плюс", хотя так говорить и не грамотно, но зато именно так ученики его запоминают быстрее всего!

Законы исключения третьего, операции с константами и законы повторения следуют из определения самих логических операций сложения (дизъюнкции) и умножения (конъюнкции).

Переместительный, сочетательный и распределительный законы нам встречались и в обычной алгебре. Они и в алгебре логики работают точно так же! Правда распределительный закон относительно умножения на уроках математики применять никак нельзя, а в алгебре логики пожалуйста:

a + b × c = (a + b) × (a + c)

И последнее и самое интересное - это законы де Моргана (или двойного отрицания). Никак нельзя допускать при упрощении выражений оставлять знак отрицания более чем над одним высказыванием! С этой проблемой нам помогают бороться именно законы де Моргана.

Запомнить их просто: отрицание раздается каждому высказыванию, находящемуся под общей чертой, а знаки + меняются на × , и наоборот × на +.

Упрощение нескольких логических выражений представлено в следующем видео. Вы можете его ставить на паузу и сверяться с формулами законов в любом удобном для вас месте: