Связь высказываний с множествами
Обновлено: 05.07.2024
Высказывание — первый важнейший объект изучения математической логики. Алгебра высказываний изучает способы построения высказываний из уже имеющихся высказываний, закономерности таких способов сочетания высказываний. Алгебра высказываний является фундаментом математической логики.
Понятие высказывания
Предметом исследования алгебры высказываний являются высказывания. Но алгебра высказываний не ставит целью их всестороннее изучение. Из многочисленных свойств высказывания алгебру высказываний интересует лишь одно: истинно оно или ложно. Именно это и является определяющим свойством высказывания. Итак, под высказыванием понимается такое предложение, которое либо истинно, либо ложно. Высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным.
В дальнейшем будем считать, что имеется первоначальная совокупность некоторых простейших высказываний, называемых элементарными или исходными, о каждом из которых точно известно, истинно оно или ложно. Причем в этой совокупности имеются как истинные высказывания, так и ложные.
Договоримся обозначать конкретные высказывания начальными заглавными буквами латинского алфавита или теми же буквами с индексами внизу.
Приведем примеры высказываний , которые будут использованы в дальнейшем:
"Москва — столица России";"Саратов находится на берегу Невы";
"Все люди смертны";
"Сократ — человек";
"7 < 4";
"Волга впадает в Каспийское море";
"А.С.Пушкин — великий русский математик";
"Снег белый".
Обозначив истинное высказывание символом 1, а ложное — 0, введем функцию , по следующему правилу:
Функция — логическим значением или значением истинности высказывания . Для приведенных высказываний имеем логические значения:
Из элементарных высказываний с помощью операций над высказываниями или логических связок строят сложные высказывания. Перейдем к точному описанию таких построений.
Отрицание высказывания
Здесь может возникнуть вопрос, почему приписывание истинности или ложности высказыванию
Конъюнкция двух высказываний
Практика полностью подтвердила, что именно такое распределение значений истинности наиболее соответствует тому смыслу, который придается в процессе мыслительной деятельности связующему союзу "и".
Пример 1.4. Применим операцию конъюнкции к высказываниям и . Получим высказывание л Л3: "Саратов находится на берегу Невы, и все люди смертны". Конечно, мы не воспринимаем это высказывание как истинное из-за первой, ложной, его части. К выводу о ложности полученного высказывания также придем, исходя из логических значений исходных высказываний и и определения 1.3 конъюнкции на основании приведенной там таблицы. В самом деле,
Дизъюнкция двух высказываний
Пример 1.6. Применим операцию дизъюнкцию к высказываниям и . Получим составное высказывание "Все люди смертны, или ". Несмотря на первоначально кажущуюся странность этого высказывания, нет сомнений в его истинности. К аналогичному заключению приводит также формальное вычисление логического значения данного высказывания по таблице из определения 1.5, исходя из логических значений высказываний и
В то же время высказывание "Саратов находится на берегу Невы, или А. С. Пушкин — великий русский математик", являющееся дизъюнкцией высказываний и , безусловно, ложно, что полностью согласуется с формальным вычислением его логического значения по таблице из определения 1.5:
Импликация двух высказываний
В высказывании высказывание называется посылкой или антецедентом, а высказывание — следствием или консеквентом.
Пример 1.8. Высказывание "Если Волга впадает в Каспийское море, то " ложно, так как
Высказывание "Если Саратов находится на берегу Невы, то А. С. Пушкин — великий русский математик", являющееся импликацией высказываний и , истинно, так как
Эквивалентность двух высказываний
Пример 1.10. Высказывание " тогда и только тогда, когда снег белый", являющееся эквивалентностью высказываний и , ложно, так как
Напротив, высказывание "Саратов находится на берегу Невы, если и только если А.С.Пушкин — великий русский математик" истинно, так как оно является эквивалентностью двух ложных высказываний.
Наименее адекватным соответствующему союзу языка является понятие импликации, которое призвано отразить логический союз " если. то. ". Это и понятно: на этом союзе основан один из сложнейших умственных процессов — процесс построения выводов, умозаключений. Импликация остается все же самой "коварной" из всех логических операций, и ее определение при всех приведенных доводах оставляет в нас чувство незавершенности. И это неспроста. Наиболее наглядно эта неадекватность определения языку проявится в ходе развития алгебры высказываний, когда мы, например, придем к тому, что тавтологией окажется следующая формула: . Это означает, что какие бы ни были высказывания и , по меньшей мере одно из высказываний или непременно будет истинным. Этот факт уже не согласуется с общепринятой практикой, и он еще раз подтверждает, что понятие импликации лишь весьма условно и приблизительно переводит на язык нулей и единиц тот смысл, который имеется в виду при построении фразы типа " если. то. ".
Из приведенного следует вывод о том, что тонкое и многообразное человеческое мышление не так легко поддается научному осмыслению и изучению и что алгебра высказываний — всего лишь одно из приближений, всего лишь шаг на пути к познанию человеческого мышления.
По поводу происхождениия терминов отметим, что "конъюнкция" происходит от лат. conjunctio — соединение, дизъюнкция — от лат. dusjunctio — разъединение, импликация от лат. implicatio — сплетение и itnplico — тесно связываю.
Общий взгляд на логические операции
Учитывая два правила действия с символами 0 и 1, определяемые отрицанием, можно записать равенство для вычисления логического значения высказывания
Указанные четыре правила действия с символами 0 и 1, определяемые конъюнкцией, позволяют записать равенство для вычисления логического значения высказывания
Аналогично, правила действия с символами 0 и 1, сформулированные в определениях 1.5, 1.7, 1.9, дают возможность записать равенства для вычисления логических значений высказываний и соответственно:
которые были проделаны выше в качестве примеров применения операций над высказываниями.
Читайте также: