С геометрической прогрессией выражение
Обновлено: 22.12.2024
Наверняка вы слышали выражение, что что-то растёт в геометрической прогрессии. Это означает очень быстрый рост – рост в разЫ. А если это что-что в геометрической прогрессии убывает, значит, оно с кратным ускорением стремится к нулю.
Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, первый член которой , а каждый последующий получается умножением предыдущего на некоторое число . Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.
Если и , то прогрессия является растущей. Например:
2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, … – здесь каждый следующий член получен умножением предыдущего на 3. Знаменатель прогрессии определяется элементарно – делим любой член (кроме первого) на предыдущий: .
Если же , то прогрессия убывает: – здесь каждый следующий член получен умножением предыдущего на .
Если , то прогрессия будет знакочередующейся, например:
Любой член геометрической прогрессии легко определить по формуле . Найдём, например, 10-й член последней прогрессии: .
Сумма первых членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле:
, обратите внимание, что для этого не нужно знать («энный» член)
В качестве примера вычислим сумму . У этой прогрессии , и подсчитываем мы сумму членов:
Однако особый интерес представляет бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это прогрессия бесконечным количеством членов и основанием , пример уже был:
– члены такой прогрессии стремятся к нулю.
Но главная «фишка» состоит в том, что сумма бесконечного количества членов… равна конечному числу! И особо приятно, что для расчёта этой суммы существует очень простая формула: . В нашем примере , и мы счастливы:
– главное, правильно упростить трёхэтажную дробь.
Читайте также: