Релятивистское выражение для импульса
Обновлено: 18.09.2024
приближенно справедливо только при нерелятивистских (v << c) скоростях частицы. Не следует придавать словам «приближенно справедливо» излишнего драматического значения по той простой причине, что когда речь идет о движении макроскопических тел, эти поправки ничтожно малы. Например, орбитальная скорость Земли составляет 30 км/с, чему соответствуют релятивистские поправки, по порядку величины равные (v/c) 2
10 –8 . Однако, при рассмотрении движения элементарных частиц (электронов, протонов и т.п.) релятивистские поправки чаще всего уже не малы: правильные релятивистские значения физических характеристик могут в тысячи раз превышать свои значения, рассчитанные по нерелятивистским формулам.
Рис. 6.12. Зависимость физических величин от скорости
Предположим, что справедливое и в релятивистском (v
c) случае выражение для импульса свободной частицы массы m, движущейся в нашей системе отсчета со скоростью можно записать в виде
где — некоторая функция только модуля скорости. Свободная частица — это замкнутая система из одной частицы, для замкнутой системы пространство изотропно (один из проверенных временем всеобщих постулатов современной физики), поэтому вектор импульса обязан быть направленным по единственному вектору в задаче, а именно: вектору скорости частицы , по этой же причине его модуль не может зависеть от того, в каком направлении движется частица, следовательно . Выражение (6.7.2) — это импульс, то есть по размерности, это произведение массы на скорость, следовательно функция безразмерна. Соответственно, она не может зависеть просто от модуля скорости частицы v, так как это размерная величина. Возможна лишь зависимость от безразмерного отношения скорости частицы к какой-то другой скорости. Нетрудно сообразить, что это должна быть инвариантная скорость, иначе при одной и той же скорости частицы это отношение, а вместе с ним функция и сам импульс будут принимать различные значения, что противоречит здравому смыслу. В нашем распоряжении есть только одна инвариантная скорость: это скорость света в вакууме с. Таким образом, имеем:
Релятивистское выражение для импульса (6.7.2) должно при малых скоростях переходить в нерелятивистское выражение (6.7.1), поэтому можно утверждать, что
Установить вид функции (v) можно разными способами, в частности, следующим образом.
Представим себе, что в неподвижной системе отсчета вдоль оси 0x движется тело массой m и на него в направлении движения в течение короткого времени dt действует сила F. Под действием этой силы тело приобретает скорость v + dv. Изменение импульса тела равно
Рассмотрим движение этого тела в системе отсчета K', движущуюся вдоль оси 0x со скоростью V равной скорости тела до действия на него силы, то есть V = v. Это так называемая сопутствующая система отсчета, в этой системе отсчета тело первоначально (до начала действия силы) покоилось, а после действия силы приобрело скорость dv'. Поскольку речь идет о бесконечно малой скорости тела, то в этой системе отсчета применимы законы нерелятивистской механики. Следовательно, в К' скорость, приобретенная телом, равна
Скорости тела в K – v + dt и в K' – dv' связаны релятивистским законом преобразования скоростей, в котором надо положить V = v :
Бесконечная малость dv' позволяет переписать дробь 1/(1 + vdv'/c 2 ) в следующем виде 1/(1 + vdv'/c 2 ) = 1 – vdv'/c 2 . Подставляя это соотношение в (6.7.7), получаем
В самом правом выражении в (6.7.8) опущено слагаемое второго порядка малости пропорциональное (dv') 2 . Сократив слева и справа скорость v, получаем связь между приращениями скорости в системах отсчета К и К'
Подстановка в (6.7.9) второго закона Ньютона в виде (6.7.6) дает
И, наконец, подстановка (6.7.10) в выражение для приращения импульса (6.7.5)
Время действия силы dt' в системе К' связано с её временем действия dt в системе К соотношением
позволяющим приращение импульса в системе К выразить через время действия силы dt в той же системе К. Таким образом, для скорости изменения импульса в системе К имеем:
Теперь самое главное: следуя принципу относительности, гласящему, что законы природы должны выглядеть одинаково во всех инерциальных системах отсчета, потребуем, чтобы и в системе К (сравним со вторым уравнением в (6.7.6)) второй закон Ньютона имел вид
Сравнивая (6.7.12) и (6.7.13) для функции η(ξ) получаем следующее дифференциальное уравнение
Путем прямого дифференцирования функции
легко убедиться в том, что она является решением уравнения (6.7.14) и удовлетворяет условию перехода к нерелятивистскому пределу (6.7.4).
Релятивистское выражение для импульса, удовлетворяющее всем сформулированным выше условиям и справедливо при любых скоростях имеет вид:
Или короче, используя релятивистский фактор
При малых скоростях выражение v << c переходит в нерелятивистское выражение ньютоновской механики
Релятивистский импульс бесконечно растет при приближении скорости тела к скорости света. Зависимость релятивистского импульса частицы от ее скорости представлена на рис. 6.13.
Рис. 6.13. Зависимость импульса частицы от ее скорости: 1 — релятивистский импульс; 2 — ньютоновский импульс
Пример. Тело начинает двигаться из состояния покоя под действием постоянной во времени силы F. Найдем зависимость скорости тела от времени и сравним с классическим результатом.
Так как скорость тела в этом случае будет направлена вдоль линии действия силы, можно записать основное уравнение динамики в скалярной форме:
где v(t) — скорость тела в момент времени t, причем v(0)=0. Интегрируя, находим:
где мы ввели обозначение aCL = F/m для классического ускорения тела. Возводя уравнение в квадрат, легко получаем закон зависимости скорости от времени:
Таким образом, в любой момент времени v(t) < c, а при
В случае небольших значений времени (t << c/aCL) мы получаем результат классической нерелятивистской механики для равноускоренного движения:
Приведем численные оценки. Пусть ракета движется с ускорением (классическим) aCL=g = 9,8 м/с 2 (то есть космонавты испытывают привычную земную силу тяжести). Согласно классическому закону движения ракета достигнет скорости света через время
то есть примерно через год. На самом деле в этот момент времени ее скорость будет равняться
Через два года пути скорость станет равной
через пять лет будет
через 10 лет получим
Сколько бы времени ни ускорялась ракета, ее скорость никогда не достигнет скорости света. Скорость ракеты, как принято говорить у математиков, будет асимптотически приближаться к скорости света в вакууме и станет ей равна через бесконечное время.
Читайте также: