Работа силы при вращении тела определяется выражением

Обновлено: 21.11.2024

Определим работу, которую совершают внешние силы при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси 00. Элементарная работа по перемещению элемента массой равна:

где — тангенциальная составляющая внешней силы , действующей на элемент массой (рис. 7.11).

Рис. 7.11. Работа сил при вращении твердого тела

Вспомним разложение силы

на вектор, параллельный оси вращения (примем ее за ось z), и вектор, ортогональный к ней. При вращении перемещение направлено по касательной к траектории, то есть, во-первых, лежит в плоскости вращения. Отсюда следует, что сила , направленная вдоль оси вращения, работы не совершает. Во-вторых, перемещение ортогонально радиусу окружности, описываемой данным элементом. Проекцию внешней силы на плоскость вращения в свою очередь можно разложить на слагаемые

Одно из них () направлено по радиусу, оно ортогонально перемещению и потому также не совершает работы. Работу совершает лишь проекция силы на касательное направление , фигурирующая в выражении для элементарной работы.

Путь можно записать как

где — введенное выше плечо силы.

Следовательно, мы выразили элементарную работу при перемещении элемента массой через проекцию момента внешней силы на ось вращения:

Поэтому элементарная работа при вращении всего твердого тела равна

где M есть полный момент всех внешних сил, а вектор направлен вдоль оси вращения согласно правилу буравчика.

Для полной работы за время можно записать:

Проекцию момента внешних сил можно выразить через угловое ускорение, используя основное уравнение динамики вращательного движения

Тогда, с учетом , получаем

Согласно закону сохранения энергии работа равняется приращению кинетической энергии твердого тела. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела равна

Между величинами, описывающими поступательное и вращательное движения, существует аналогия, которая облегчает усвоение и запоминание этих величин и связей между ними (см. таблицу).

Читайте также: