Работа силы при вращении тела определяется выражением
Обновлено: 22.12.2024
Определим работу, которую совершают внешние силы при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси 00. Элементарная работа по перемещению элемента массой равна:
где — тангенциальная составляющая внешней силы , действующей на элемент массой (рис. 7.11).
Рис. 7.11. Работа сил при вращении твердого тела
Вспомним разложение силы
на вектор, параллельный оси вращения (примем ее за ось z), и вектор, ортогональный к ней. При вращении перемещение направлено по касательной к траектории, то есть, во-первых, лежит в плоскости вращения. Отсюда следует, что сила , направленная вдоль оси вращения, работы не совершает. Во-вторых, перемещение ортогонально радиусу окружности, описываемой данным элементом. Проекцию внешней силы на плоскость вращения в свою очередь можно разложить на слагаемые
Одно из них () направлено по радиусу, оно ортогонально перемещению и потому также не совершает работы. Работу совершает лишь проекция силы на касательное направление , фигурирующая в выражении для элементарной работы.
Путь можно записать как
где — введенное выше плечо силы.
Следовательно, мы выразили элементарную работу при перемещении элемента массой через проекцию момента внешней силы на ось вращения:
Поэтому элементарная работа при вращении всего твердого тела равна
где M есть полный момент всех внешних сил, а вектор направлен вдоль оси вращения согласно правилу буравчика.
Для полной работы за время можно записать:
Проекцию момента внешних сил можно выразить через угловое ускорение, используя основное уравнение динамики вращательного движения
Тогда, с учетом , получаем
Согласно закону сохранения энергии работа равняется приращению кинетической энергии твердого тела. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела равна
Между величинами, описывающими поступательное и вращательное движения, существует аналогия, которая облегчает усвоение и запоминание этих величин и связей между ними (см. таблицу).
Читайте также: