Привести выражения к днф
Обновлено: 02.07.2024
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция простых конъюнкций.
Например, выражение является ДНФ.
Например, выражение является ДНФ, но не СДНФ. Выражение является СДНФ.
Аналогичные определения (с заменой конъюнкции на дизъюнкцию и наоборот) верны для КНФ и СКНФ. Приведем точные формулировки.
Простой дизъюнкцией называется дизъюнкция одной или нескольких переменных, при этом каждая переменная входит не более одного раза (либо сама, либо ее отрицание).Например, выражение – простая дизъюнкция,
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция простых дизъюнкций (например выражение – КНФ).
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называется такая КНФ, у которой в каждую простую дизъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одинаковом порядке.
Например, выражение является СКНФ.
Приведем алгоритмы переходов от одной формы к другой. Естественно, что в конкретных случаях (при определенном творческом подходе) применение алгоритмов бывает более трудоемким, чем простые преобразования, использующие конкретный вид данной формы:
а) переход от ДНФ к КНФ
Алгоритм этого перехода следующий: ставим над ДНФ два отрицания и с помощью правил де Моргана (не трогая верхнее отрицание) приводим отрицание ДНФ снова к ДНФ. При этом приходится раскрывать скобки с использованием правила поглощения (или правила Блейка). Отрицание (верхнее) полученной ДНФ (снова по правилу де Моргана) сразу дает нам КНФ:
Заметим, что КНФ можно получить и из первоначального выражения, если вынести у за скобки;
б) переход от КНФ к ДНФ
Этот переход осуществляется простым раскрытием скобок (при этом опять-таки используется правило поглощения)
Таким образом, получили ДНФ.
Обратный переход (от СДНФ к ДНФ) связан с проблемой минимизации ДНФ. Подробнее об этом будет рассказано в разд. 5, здесь же мы покажем, как упростить ДНФ (или СДНФ) по правилу Блейка. Такая ДНФ называется сокращенной ДНФ;
в) сокращение ДНФ (или СДНФ) по правилу Блейка
Применение этого правила состоит из двух частей:
- если среди дизъюнктных слагаемых в ДНФ имеются слагаемые , то ко всей дизъюнкции добавляем слагаемое К1К2. Проделываем эту операцию несколько раз (можно последовательно, можно одновременно) для всех возможных пар слагаемых, а затем, применяем обычное поглощение;
- если добавляемое слагаемое уже содержалось в ДНФ, то его можно отбросить совсем, например,
Разумеется, сокращенная ДНФ не определяется единственным образом, но все они содержат одинаковое число букв (например, имеется ДНФ , после применения к ней правила Блейка можно прийти к ДНФ, равносильной данной):
в) переход от ДНФ к СДНФ
Если в какой-то простой конъюнкции недостает переменной, например, z, вставляем в нее выражение ,после чего раскрываем скобки (при этом повторяющиеся дизъюнктные слагаемые не пишем). Например:
г) переход от КНФ к СКНФ
Этот переход осуществляется способом, аналогичным предыдущему: если в простой дизъюнкции не хватает какой-то переменной (например, z, то добавляем в нее выражение (это не меняет самой дизъюнкции), после чего раскрываем скобки с использованием распределительного закона):
Таким образом, из КНФ получена СКНФ.
Заметим, что минимальную или сокращенную КНФ обычно получают из соответствующей ДНФ.
Читайте также: