Период полураспада t1 2 с постоянной распада связаны выражением

Обновлено: 26.03.2025

Глава 3. Радиоактивность

Согласно (3.35) число распавшихся ядер равно (N − N₀), а доля распавшихся ядер за некоторый промежуток времени или, что одно и тоже, вероятность распада, равна:

При небольших временах функцию exp(-λt) можно разложить в ряд Тейлора, оставив при этом первые два члена. Тогда вероятность распада ядра за некоторый промежуток времени будет равна:

Полученный результат по формуле (3.37) очевиден, т.к. λ представляет собой вероятность распада в единицу времени.

2. Сколько ₈₄Po 210 (Т_1/2 = 138,4 сут) распадется и останется через 10 сут от 4 мг исходного количества?

Решение

Согласно определению количество радиоактивного нуклида изменяется по экспоненциальному закону, для нашего случая этот закон примет вид:

Постоянная распада определяется соотношением:

Подставляя исходные данные в (3.38) получим:

m = m₀·e −λt ,

3. Распад покоящихся ядер ₈₄Po 210 происходит из основного и сопровождается испусканием двух групп α-частиц: основной с энергией E_α1 = 5.30 МэВ и слабой (по интенсивности) с энергией E_α2 = 4.50 МэВ. Найти энергию α-распадов этих ядер и энергию γ-квантов, испускаемых дочерними ядрами.

Решение

Согласно условию задачи дочерни ядра возникают не только в основном, но и в возбужденном состоянии. Из закона сохранения импульса следует, что:

Энергия α-распада с учетом (3.40) равна:

Аналогично запишем выражение для Q ' , когда дочернее ядро возникает в возбужденном состоянии:

Из формул (3.41) и (3.42) получим:

p_α = p_д или m_αE_α = m_дE_д.

4. Выведите формулу для скорости (активности) радиоактивного распада через период полураспада Т_1/2 и начальное число N₀.

Решение

Согласно определению активность радиоактивного вещества равна:

Количество радиоактивного нуклида изменяется по экспоненциальному закону:

Подставляя формулу (3.44) в (3.43), получим:

5. Один грамм U-238 излучает 1.24·10 4 α-частиц в секунду. Определить Т_1/2 изотопа и активность в Ки.

Решение

Число ядер в одном грамме вещества определяется соотношением:

Согласно определению активность радионуклида равна:

Активность одного грамма U-238 А = 1.24·10 4 Бк = 0.335 мкКи. Согласно (3.45) имеем:

При подстановке найденного значения для N_яд в (3.47), получим:

6. В урановых рудах содержится примесь чистого свинца Pb-206. Предполагая, что весь свинец получился в результате распада U-238, определить возраст урановой руды. В 1 г урана содержится 0.3 г Pb-206.

Решение

Согласно определению концентрация радиоактивного нуклида изменяется по закону:

Текущее значение число ядер урана равно:

Подставляя выражение (3.49) в (3.48), получим:

Логарифмируя выражение (3.50), получим:

Начальное число ядер, согласно условию задачи, равно:

Число распавшихся ядер, согласно условию задачи, равно:

Подставляя найденные значения ядер в формулу (3.51), получим:

N(t) = N₀·e −λt ,

7. В кровь человека ввели небольшое количество раствора, содержащего ₁₁Na 24 активностью 2.1·10 3 Бк. Активность 1 см 3 крови, взятой через 5 часов, оказалась равной 0.28 Бк. Найти объем крови человека.

Решение

Согласно определению, активность ₁₁Na 24 уменьшается по закону:

Выражая из (3.54) V, получим соотношение:

a = A₀ / V·e −λt ,

8. Определить массу α-активного изотопа Po-210, имеющего активность 1 Ки.

Решение

Согласно определению активность вещества определяется соотношением:

Тогда активность можно определить из соотношения:

Из (3.57) определяем массу радиоактивного вещества:

Если в (3.58) активность подставлять в Ки, молярную массу в г /_моль, а период полураспада в секундах, то массу m (кг) радиоактивного нуклида можно определить из соотношения:

Подставляя в (3.58.2) исходные данные, получим:

A = λ·N, Ки,

9. Определить отношение высоты центробежного барьера к высоте кулоновского барьера для α-частиц, испускаемых ядрами Po-210, с орбитальным моментом l = 2. Закруглением вершины кулоновского барьера пренебречь.

Решение

Величина кулоновского барьера определяется из соотношения:

Величина центробежного барьера определяется из соотношения:

Подставляя в последние две формулы исходные данные, получим значения кулоновского и центробежного барьеров. Согласно (3.59) и (3.60) имеем:

Отношение центробежного и кулоновского барьеров равно:

Из последнего соотношения видно, что проницаемость D для тяжелых ядер при небольших значения l обусловлена практически кулоновским барьером.

10. Определить проницаемость кулоновского барьера ядра ₁₃Al 27 по отношению к протону с кинетической энергией 1 МэВ.

Решение

Проницаемость определим из соотношения:

Решение для С_l можно получить положив параметр y = 0 (т.к рассматривается только кулоновский барьер) в общем выражении для С_l.

Радиус ядра определим из соотношения:

R = 1.4·10₋₁₃·A 1/3 = 1.4·10 −13 ·27 1/3 = 4.2·10 −13 см.

Согласно условию задачи необходимо найти проницаемость кулоновского барьера, поэтому высота барьера будет определяться соотношением:

Приведенная масса системы равна:

Величины, входящие в (3.64), соответственно равны:

Подставляя найденные значения в интеграл (3.64), получим:

C_l = 2.6.

Проницаемость кулоновского барьера ядра ₁₃Al 27 по отношению к протону с кинетической энергией 1 МэВ равна:

Читайте также: