Отношения между высказываниями в логике

Обновлено: 22.12.2024

Соответственно два высказывания сравнимы тогда и только то­гда, когда имеется хотя бы одно простое высказывание, входящее в структуру как первого, так и второго высказывания. Несравнимые высказывания порождаются логическими формами, которые могут быть вместе как истинными, так и ложными, и нельзя указать хотя бы на некоторую регулярность в их отношениях.

Среди сравнимых различают совместимые и несовместимые логические формы. Совместимость форм определяется наличием хотя бы одного случая, когда из них порождаются высказывания, оказывающиеся вместе истинными. При отсутствии такого случая формы несовместимы.

Совместимые формы могут находиться в следующих отношениях:

1) полной совместимости или равнозначности;

3) частичной совместимости.

формы А и В находятся в отношении полной совместимости (равнозначности), если и только если ими порождаются высказы­вания, логические значения которых при одинаковых значениях со­ставляющих полностью совпадают (табл. 3.4).

Таблица 3.4

Логические формы А и В находятся в отношении следования (из А следует В), если и только если всякий раз, когда из А порож­дается истинное высказывание, из В также порождается истинное высказывание (табл. 3.5).

Логические формы А и В находятся в отношении частичной совместимости, если и только если из них порождаются высказы­вания, которые могут быть вместе истинными, но не могут быть вместе ложными.

Теперь рассмотрим несовместимые логические формы. Здесь нужно выделить отношения противоречия и противности.

Логические формы А и В находятся в отношении противоре­чия, если и только если они порождают высказывания, которые не могут быть вместе истинными, как и не могут быть вместе ложны­ми. Таковы, например, формы А л В; А -> В . Какие бы высказыва­ния мы ни подставляли вместо А и В, - если первое истинно, то второе будет ложным, и наоборот (см. табл. 3 .7). В любом случае высказывания, порождаемые формами, находящимися в отношении противоречия, будут иметь противоположные логические значения, отрицая друг друга.

Логические формы А и В находятся в отношении противно­сти, если и только если они порождают высказывания, которые не могут быть вместе истинными, но могут быть вместе ложными. На­пример, в отношении противности находятся формы АÙВ; АÙВ (см. табл. 3.8).

А в АÙВ АÙне-В
И и И Л
И л Л И
Л и Л Л
л л Л Л

Установление отношений между логическими формами облегчает содержательный анализ, обеспечивает точность и определенность

С увеличением числа переменных табличный метод становится трудноприменимым, поскольку быстро возрастает число строк в таблице, исчисляемых по формуле S = 2 П , где S - число строк; п -число переменных. (Так, при пяти переменных таблица состоит из 32 строк.) Поэтому изобретаются более удобные способы селек­ции логических законов.


1. Чтобы форма не являлась логическим законом, она при неко­торой подстановке должна стать ложным высказыванием.

7. Наше допущение о ложности С, таким образом, отпадает, то есть следствие нашей импликации должно быть истинным, тогда истинной будет и вся импликация. Поскольку она не может быть ложной при одной единственной подстановке, которую мы прове­рили, постольку она - логический закон.

Читайте также: