Отношения между высказываниями в логике
Обновлено: 21.11.2024
Соответственно два высказывания сравнимы тогда и только тогда, когда имеется хотя бы одно простое высказывание, входящее в структуру как первого, так и второго высказывания. Несравнимые высказывания порождаются логическими формами, которые могут быть вместе как истинными, так и ложными, и нельзя указать хотя бы на некоторую регулярность в их отношениях.
Среди сравнимых различают совместимые и несовместимые логические формы. Совместимость форм определяется наличием хотя бы одного случая, когда из них порождаются высказывания, оказывающиеся вместе истинными. При отсутствии такого случая формы несовместимы.
Совместимые формы могут находиться в следующих отношениях:
1) полной совместимости или равнозначности;
3) частичной совместимости.
формы А и В находятся в отношении полной совместимости (равнозначности), если и только если ими порождаются высказывания, логические значения которых при одинаковых значениях составляющих полностью совпадают (табл. 3.4).
Таблица 3.4
Логические формы А и В находятся в отношении следования (из А следует В), если и только если всякий раз, когда из А порождается истинное высказывание, из В также порождается истинное высказывание (табл. 3.5).
Логические формы А и В находятся в отношении частичной совместимости, если и только если из них порождаются высказывания, которые могут быть вместе истинными, но не могут быть вместе ложными.
Теперь рассмотрим несовместимые логические формы. Здесь нужно выделить отношения противоречия и противности.
Логические формы А и В находятся в отношении противоречия, если и только если они порождают высказывания, которые не могут быть вместе истинными, как и не могут быть вместе ложными. Таковы, например, формы А л В; А -> В . Какие бы высказывания мы ни подставляли вместо А и В, - если первое истинно, то второе будет ложным, и наоборот (см. табл. 3 .7). В любом случае высказывания, порождаемые формами, находящимися в отношении противоречия, будут иметь противоположные логические значения, отрицая друг друга.
Логические формы А и В находятся в отношении противности, если и только если они порождают высказывания, которые не могут быть вместе истинными, но могут быть вместе ложными. Например, в отношении противности находятся формы АÙВ; АÙВ (см. табл. 3.8).
А | в | АÙВ | АÙне-В |
И | и | И | Л |
И | л | Л | И |
Л | и | Л | Л |
л | л | Л | Л |
Установление отношений между логическими формами облегчает содержательный анализ, обеспечивает точность и определенность
С увеличением числа переменных табличный метод становится трудноприменимым, поскольку быстро возрастает число строк в таблице, исчисляемых по формуле S = 2 П , где S - число строк; п -число переменных. (Так, при пяти переменных таблица состоит из 32 строк.) Поэтому изобретаются более удобные способы селекции логических законов.
1. Чтобы форма не являлась логическим законом, она при некоторой подстановке должна стать ложным высказыванием.
7. Наше допущение о ложности С, таким образом, отпадает, то есть следствие нашей импликации должно быть истинным, тогда истинной будет и вся импликация. Поскольку она не может быть ложной при одной единственной подстановке, которую мы проверили, постольку она - логический закон.
Читайте также: