Основные выражения для конечных разностей сапр
Обновлено: 28.09.2024
В САПР решение дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными выполняется численными методами. Эти методы основаны на дискретизации независимых переменных - их представлении конечным множеством значений в выбранных узловых точках исследуемого пространства. Эти точки рассматриваются как узлы некоторой сетки, поэтому используемые в САПР методы - это сеточные методы.
Среди сеточных методов наибольшее распространение получили два метода: метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Обычно выполняют дискретизацию пространственных независимых переменных, т. е. используют пространственную сетку. В этом случае результатом дискретизации является СОДУ для задачи нестационарной или система алгебраических уравнений для стационарной.
Метод конечных разностей исторически начал развиваться раньше МКЭ и является старейшим методом решения краевых задач.
Алгоритм МКР состоит из этапов, традиционных для метода сеток:
Этап 1. Построение сетки в заданной области. В МКР используется сетка, задаваемая конечным множеством узлов. В узлах сетки определяются приближенные значения искомой функции . Совокупность силовых значений называют сеточной функцией.
Этап 2. Замена дифференциального оператора в исходном дифференциальном уравнении известным аналогом Lh, построенным по одной из схем рассмотренных ниже. При этом непрерывная функция аппроксимируется сеточной функцией .
Этап 3. Решение полученной системы алгебраических уравнений.
При кажущейся простоте алгоритма МКР его практическая реализация наталкивается на ряд трудностей. Для выяснения их природы целесообразно рассмотреть основные этапы МКР более подробно.
Читайте также: