Общие выражения для напряженности и потенциала поля создаваемого в точке с радиус вектором
Обновлено: 04.11.2024
Потенциал — физическая величина, которая определяется работой по перемещению единичного положительного электрического заряда при удалении его из данной точки поля в бесконечность. Эта работа численно равна работе, которую совершают внешние силы (против сил электростатического поля) по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля.
Единица потенциала — вольт (В): 1 В равен потенциалу такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл). Учитывая размерность вольта, можно показать, что введенная ранее единица напряженности электростатического поля действительно равна 1 В/м: 1 Н/Кл=1 Н•м/(Кл•м)=1 Дж/(Кл•м)=1 В/м.
Из формул (3) и (4) следует, что если поле создается несколькими зарядами, то потенциал данного поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:
Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала.
E = - grad фи = - N фи.
Для установления связи между силовой характеристикой электрического поля - напряжённостью и его энергетической характеристикой - потенциалом рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q: dA = q E dl, эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q: dA = - dWп = - q dфи , где d фи - изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl. Приравнивая правые части выражений, получаем: E dl = -d фи или в декартовой системе координат
Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d фи
где Ex, Ey, Ez - проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем
Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала фи.
Принцип суперпозиции как фундаментальное свойство полей. Общие выражения для напряженности и потенциала поля, создаваемого в точке с радиус-вектором системой точечных зарядов, находящихся в точках с координатами.(см п.4)
Если рассмотреть принцип суперпозиции в самом общем смысле, то согласно ему, сумма воздействия внешних сил, действующих на частицу, будет складываться из отдельных значений каждой из них. Данный принцип применяется к различным линейным системам, т.е. таким системам, поведение которых можно описать линейными соотношениями. Примером может послужить простая ситуация, когда линейная волна распространяется в какой-то определённой среде, в этом случае её свойства будут сохраняться даже под действием возмущений, возникающих из-за самой волны. Эти свойства определяются как конкретная сумма эффектов каждой из гармоничных составляющих.
Принцип суперпозиции может принимать и иные формулировки, которые полностью эквивалентны приведённой выше:
· Взаимодействие между двумя частицами не изменяется при внесении третьей частицы, также взаимодействующей с первыми двумя.
· Энергия взаимодействия всех частиц в многочастичной системе есть просто сумма энергий парных взаимодействий между всеми возможными парами частиц. В системе нет многочастичных взаимодействий.
· Уравнения, описывающие поведение многочастичной системы, являются линейными по количеству частиц.
6 Циркуляцией вектора напряженности называется работа, которую совершают электрические силы при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому пути L
Так как работа сил электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю (работа сил потенциального поля), следовательно циркуляция напряженности электростатического поля по замкнутому контуру равна нулю.
Потенциал поля. Работа любого электростатического поля при перемещении в нем заряженного тела из одной точки в другую также не зависит от формы траектории, как и работа однородного поля. На замкнутой траектории работа электростатического поля всегда равна нулю. Поля, обладающие таким свойством, называют потенциальными. Потенциальный характер, в частности, имеет электростатическое поле точечного заряда.
Работу потенциального поля можно выразить через изменение потенциальной энергии. Формула справедлива для любого электростатического поля.
7-11Если силовые линии однородного электрического поля напряженностью пронизывают некоторую площадку S, то поток вектора напряженности (раньше мы называли число силовых линий через площадку) будет определяться формулой:
где En – произведение вектора на нормаль к данной площадке (рис. 2.5).
Рис. 2.5
Полное число силовых линий, проходящих через поверхность S называется потоком вектора напряженности ФЕ через эту поверхность.
В векторной форме можно записать – скалярное произведение двух векторов, где вектор .
Рассмотрим примеры, изображенные на рисунках 2.6 и 2.7.
 | |
| Рис. 2.6 | Рис. 2.7 |
Для рисунка 2.6 – поверхность А1 окружает положительный заряд и поток здесь направлен наружу, т.е. Поверхность А2– окружает отрицательный заряд, здесь и направлен внутрь. Общий поток через поверхность А равен нулю.
Для рисунка 2.7 – поток будет не равен нулю, если суммарный заряд внутри поверхности не равен нулю. Для этой конфигурации поток через поверхность А отрицательный (подсчитайте число силовых линий).
Таким образом, поток вектора напряженности зависит от заряда. В этом смысл теоремы Остроградского-Гаусса.
Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.
где En – модуль нормальной составляющей поля
В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль.
| Рисунок 1.3.2. Вычисление потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S |
Теорема Гаусса утверждает:
Для доказательства рассмотрим сначала сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q. Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю
Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью S и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса R0 (рис. 1.3.3).
| Рисунок 1.3.3. Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S, окружающую заряд |
Таким образом, теорема Гаусса доказана.
Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.
Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.
Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса R. Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l, закрытого с обоих торцов (рис. 1.3.4).
| Рисунок 1.3.4. Вычисление поля однородно заряженного цилиндра. OO' – ось симметрии |
Этот результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.
Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля.
Рассмотрим еще один пример симметричного распределения зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.3.5).
В этом случае гауссову поверхность S целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости должно быть везде направлено по нормали. Применение теоремы Гаусса дает:
Полученное выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости применимо и в случае плоских заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки.
И графики к 7 – 11
1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.
Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда в любой точке сферы будет одинакова.
a. Заключим нашу сферическую поверхность в симметричную поверхность S с радиусом r>R. Поток вектора напряженности через поверхность S будет равен
По теореме Гаусса
Сравнивая это соотношение с формулой для напряженности поля точечного заряда, можно прийти к выводу, что напряженность поля вне заряженной сферы такова, как если бы весь заряд сферы был сосредоточен в ее центре.
b. Для точек, находящихся на поверхности заряженной сферы радиуса R, по аналогии с вышеприведенным уравнением, можно написать
c. Проведем через точку В, находящуюся внутри заряженной сферической поверхности, сферу S радиусом г<R. Внутри сферы S зарядов нет, т.к. все они расположены на внешней сферической поверхности, т.е. Следовательно, по теореме Гаусса, и напряженность электростатического поля внутри полой равномерно заряженной сферы будет равна нулю. Зависимость напряженности поля заряженной сферы от расстояния r приведена на рис. 13.8.
2. Электростатическое поле шара.
Пусть имеем шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью .
В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R), его поле аналогично полю точечного заряда , расположенного в центре шара. Тогда вне шара
а на его поверхности (r=R)
В точке В, лежащей внутри шара на расстояний r от его центра (r>R), поле определяется лишь зарядом , заключенным внутри сферы радиусом r. Поток вектора напряженности через эту сферу равен
с другой стороны, в соответствии с теоремой Гаусса
Из сопоставления последних выражений следует
где - диэлектрическая проницаемость внутри шара. Зависимость напряженности поля, создаваемого заряженной сферой, от расстояния до центра шара приведена на (рис.13.10)
3. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра).
Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью .
Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса Поток вектора напряженности через эту поверхность
По теореме Гаусса
Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью:
4. Напряженность поля, создаваемого, бесконечной равномерно заряженной плоскостью.
Суммарный поток вектора; напряженности равен вектору , умноженному на площадь S первого основания, плюс поток вектора через противоположное основание. Поток напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. линии напряженности их не пересекают. Таким образом, С другой стороны по теореме Гаусса
но тогда напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости будет равна
В это выражение не входят координаты, следовательно электростатическое поле будет однородным, а напряженность его в любой точке поля одинакова.
5. Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными разноименно с одинаковыми плотностями.
Как видно из рисунка 13.13, напряженность поля между двумя бесконечными параллельными плоскостями, имеющими поверхностные плотности зарядов и , равны сумме напряженностей полей, создаваемых пластинами, т.е.
Вне пластины векторы от каждой из них направлены в противоположные стороны и взаимно уничтожаются. Поэтому напряженность поля в пространстве, окружающем пластины, будет равна нулю Е=0.
12. Поле равномерно заряженной сферы.
Пусть электрическое поле создается зарядом Q, равномерно распределенным по поверхности сферы радиуса R (Рис. 190). Для вычисления потенциала поля в произвольной точке, находящейся на расстоянии r от центра сферы, необходимо вычислить работу, совершаемую полем при перемещении единичного положительного заряда от данной точки до бесконечности. Ранее мы доказали, что напряженность поля равномерно заряженной сферы вне ее эквивалентно полю точечного заряда, расположенного в центре сферы. Следовательно, вне сферы потенциал поля сферы будет совпадать с потенциалом поля точечного заряда
Итак, распределение потенциала поля равномерно заряженной сферы имеет вид (Рис. 191)
Обратите внимание, поле внутри сферы отсутствует, а потенциал отличен от нуля! Этот пример является яркой иллюстрацией, того, что потенциал определяется значением поля от данной точки до бесконечности.
Читайте также: