Найти выражение квадратичной формы в новом базисе
Обновлено: 21.11.2024
Приветствую вас на втором уроке о квадратичных формах, который посвящен её каноническому виду и соответствующим методам. «Чайникам» и вновь прибывшим с поисковика рекомендую сначала ознакомиться первой частью – чтобы быстренько привести себя в форму :)
И мы сразу же продолжаем. Если в квадратичной форме отсутствуют слагаемые с парными произведениями переменных, то говорят, что она находится в каноническом виде. …Первая часть предложения была понятной? Тогда едем дальше.
Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду:
– форму двух переменных – к виду (различаем коэффициенты «а» и «альфа»!);
– трёх переменных – к виду ;
– форму переменных «простыня» – к виду:
Чуть позже я сформулирую это утверждение более строго, расскажу о геометрическом смысле, да и просто смысле приведения – после того, как мы освоим техническую сторону вопроса.
И ключевой момент этой технической стороны состоит в линейных заменах:
– ТАКИХ, которые как раз и приводят форму к каноническому виду.
Систему часто записывают в виде компактного матричного уравнения , где:
– столбцы старых и новых переменных, – матрица линейного преобразования.
Внимание! Если вам не понятно, как из уравнения получить систему замен, обязательно посмотрите здесь (после Примера 3). Это важно.
Существует несколько способов приведения формы к каноническому виду, и в рамках сайта я расскажу о методе Лагранжа и методе ортогональных преобразований (уже следующий урок).
Начнём с наиболее простого метода:
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа. Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.
простенько и со вкусом
Решение: здесь используются стандартные замены с последующим применением бородатой формулы :
– форма в каноническом виде.
Запишем матрицу проведённого линейного преобразования: – она состоит из «игрековых» коэффициентов замен .
Ответ: ,
Пример, конечно, прозрачный, но сразу зададимся вопросом – как выполнить проверку? Её можно выполнить матричным методом по формуле , где – транспонированная матрица линейного преобразования, – исходная и – новая матрица квадратичной формы.
В нашем случае – исходная матрица формы , и, перемножая три матрицы:
– получаем матрицу формы , что и требовалось проверить.
Но то был лишь частный случай:
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.
Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.
Решение: когда в форме присутствуют квадраты переменных (а они есть почти всегда), то используется другой приём. Идея состоит в выделении полных квадратов по формулам , с дальнейшей заменой переменных.
Сначала выбираем какую-нибудь переменную, которая находится в квадрате, здесь можно выбрать или . Переменные традиционно перебирают по порядку, поэтому рассматриваем и собираем вместе все слагаемые, где есть эта переменная:
«двойку» удобно вынести за скобки:
очевидно, всё дело сведётся к формуле , и нам нужно искусственно организовать данную конструкцию. Для этого в скобках прибавляем и, чтобы ничего не изменилось – за скобками проводим вычитание:
выделяем полный квадрат:
, после чего выполним проверку обратными действиями – раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
, ОК
Теперь проведём замены :
– форма в каноническом виде.
И тут вроде бы можно записать матрицу линейного преобразования, но есть одна загвоздка, проведённые замены имеют вид :
но нам-то нужна другая матрица – матрица уравнения .
Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:
Я не буду подробно расписывать процесс нахождения обратной матрицы, а сразу приведу готовый результат – искомая матрица линейного преобразования. Напоминаю (см. начало урока), что в этой матрице находятся «игрековые» коэффициенты «прямых» замен:
Справка: возможно, ещё не все до конца понимают, как из матричного уравнения получается система замен. В правой части уравнения выполняем матричное умножение:
Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы, таким образом:
И в самом деле, выполняя прямые замены в форме :
– получаем её канонический вид, найденный выше.
То же самое можно установить матричным методом. Запишем матрицу формы и в результате перемножения трёх матриц:
– получим «каноническую» матрицу.
Прямая подстановка, безусловно, удобнее, но особенность метода Лагранжа состоит в том, что к канонической форме мы подбираемся «с другой стороны» (за исключением немногочисленных случаев наподобие предыдущего примера).
Ответ: ,
Если условие не запрашивает линейное преобразование, то решение заметно сократится. Но мы его наоборот – ещё больше увеличим :) В образовательных целях.
Квадратичную форму можно привести к каноническому виду не единственным способом. Это следует уже из самого алгоритма действий. Так, например, полный квадрат можно выделить без выноса «двойки» за скобку:
и, после замен тоже получается канонический, но уже другой вид рассматриваемой формы:
Кстати, начать можно и со 2-й переменной –
выполните это задание самостоятельно:
Привести квадратичную форму к каноническому виду, выделив полный квадрат при переменной . Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.
Решение и ответ в конце урока.
Повысим уровень сложности, а точнее, количество переменных:
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа
Записать матрицу соответствующего линейного преобразования.
Решать начинаем традиционно – группируем все слагаемые, которые содержат 1-ю переменную:
и начинаем конструировать полный квадрат:
здесь чётко просматривается формула и для её применения мы должны прибавить и вычесть :
«собираем» квадрат суммы и упрощаем «хвост», распишу это упрощение подробно:
На следующем шаге обычно выделяется ещё один полный квадрат, но у нас осталось единственно слагаемое с парным произведением, и в подобной ситуации сразу же выполняются замены, в данном случае :
В результате получен неканонический вид формы и поэтому нам потребуется ещё одна замена. Используем стандартный трюк, который встретился в самом начале урока:
. Таким образом, получаем:
– форма в каноническом виде.
Теперь нужно записать матрицу соответствующего линейного преобразования. Ситуация осложнятся тем, что мы провели ДВА преобразования, и нам предстоит найти их композицию – результирующее преобразование, которое выражает через сумму / разность «игреков».
Давайте разбираться, что к чему. Запишем первую замену в матричной форме: .
Вторая же замена имеет несколько другой вид:
Из уравнений следует, что:
Для разрешения полученного уравнения относительно умножим обе его части на слева:
Таким образом, нам нужно найти обратную матрицу (уже не нужно:)) и выполнить матричное умножение:
– получив тем самым искомое результирующее преобразование.
Но подставлять в форму что-то неохота, и поэтому «пропустим через мясорубку» её матрицу , благо, матричный калькулятор под рукой:
– получена матрица приведённой формы , в чём мы и хотели убедиться.
Обратите внимание на удобство матричной записи и матричного метода – они практически «сводят на нет» путаницу в индексах и степенях квадратичной формы.
Ответ: ,
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа
б) – особенно часто встречающийся тип приведения.
В образцах решения использован «традиционный» путь, т.е. полные квадраты выделяются по порядку, начиная с 1-й переменной. Перед заменой переменных полезно выполнять обратный ход – раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые, чтобы получить исходный вид. Это вполне надёжный способ проверки. Также обратите внимание, что здесь не требуется указывать линейное преобразование, однако, я коротко рассказал, как его находить (мало ли, понадобится).
…у всех всё получилось? Тогда продолжаем – начинается самое интересное! Наверное, все понимают, что подавляющее большинство линейных преобразований не приводят нас к желаемому результату. Вернёмся к подопытной форме Примера 7 и проведём, например, такую замену: .
Запишем матрицу формы , матрицу преобразования и воспользуемся знакомой формулой:
Таким образом, форма приняла другой, тоже неканонический вид .
И тут я хочу отметить ещё одно преимущество матричного решения, о котором не говорил. В результате умножения ДОЛЖНА получиться симметрическая и только такая матрица, и этот факт значительно снижает риск пропустить ошибку. Но, разумеется, можно выполнить и прямую подстановку в :
Правда, запутаться тут легче и гарантий никаких.
Далее. Все преобразования, которые нам встретились выше, не вырождены. Что это означает? Это означает, что для них существует обратное преобразование – образно говоря, «путь назад». Теперь не образно:) определитель матрицы невырожденного линейного преобразования непременно отличен от нуля , что гарантирует существование обратной матрицы и «зеркальной» формулы , с помощью которой мы можем однозначно восстановить исходную матрицу .
Чего не скажешь о преобразовании вырожденном – это «билет в один конец». Одним из таких преобразований является тривиальное нулевое преобразование. Так, например, если , то форма вырождается в нулевую форму с матрицей . Обратного пути нет, то есть, если нам изначально дана вырожденная «игрековая» форма с матрицей , то невозможно выяснить, от какой формы она произошла.
Существуют и другие типы «вырождения», но всех их объединяет тот факт, что определитель матрицы такого преобразования равен нулю: , из чего следует, что обратной матрицы не существует, а значит, не существует и возврата.
А теперь заметим, что нулевое преобразование привело нас… к каноническому виду ! И в самом деле – это же канонический вид по определению. И поэтому сейчас мы усилим утверждение, сформулированное в начале урока: любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования. Существование такого преобразования, в частности, гарантирует метод Лагранжа.
И сейчас я озвучу кульминационный и ОЧЕНЬ важный момент: невырожденное линейное преобразование не меняет СУЩНОСТИ квадратичной формы. Здесь можно привести такой ассоциативный пример: рассмотрим произвольную ненулевую форму и представим, что это квадратный лист бумаги, на котором записано некое слово. Если форма находится в неканоническом виде, то лист занимает такое положение, в котором мы слова не видим, или же только догадываемся, что это за слово.
1) Невырожденное преобразование, которое приводит форму к каноническому виду, поворачивает листок бумаги к нам «лицом» – чтобы слово было отчётливо видно. Поскольку таких преобразований на самом деле много, то лист бумаги в общем случае будет менять свой размер и местоположение, и размер шрифта тоже будет меняться. Но что не изменится – так это слово.
2) Невырожденное преобразование, которое НЕ приводит форму к каноническому виду, делает то же самое с большим и толстым нюансом: слова мы по-прежнему не видим.
3) Вырожденное линейное преобразование либо полностью стирает с листа слово (нулевое преобразование), либо стирает отдельные буквы – так, чтобы нельзя было однозначно сказать, от какого слова они остались; причём, мы можем не увидеть даже и этих букв (если форма осталась в неканоническом виде).
И, завершая ассоциацию, отметим наиболее интересный случай – когда невырожденное преобразование не только приводит форму к каноническому виду, но ещё и сохраняет размер листа, т.е. поворачивает его к нам в неизменном виде. Жду вас на третьем уроке о методе ортогонального преобразования, где мы продолжим увлекательную беседу и вложим в сущность формы конкретный геометрический смысл.
Решения и ответы:
Задание к Примеру 7. Решение: приведём форму к каноническому виду
Проведём замены :
– форма в каноническом виде.
Найдём матрицу линейного преобразования , где – матрица «иксовых» коэффициентов проведённых замен.
В данном случае (см. урок Как найти обратную матрицу?)
Выполним проверку прямой подстановкой в :
, что и требовалось проверить.
Пример 9. Решение:
а) проведём замены :
Полученная форма имеет неканонический вид, и здесь следует выделить полные квадраты. Начнём с переменной :
теперь выделяем квадрат при переменной :
Контроль:
, что и требовалось проверить.
Проведём замены:
Примечание: проведённые замены можно записать в виде матричных уравнений . Из последнего уравнения выразим и подставим в первое уравнение: . Таким образом, для нахождения матрицы итогового линейного преобразования нужно найти и выполнить умножение .
б) Решение: выделим полный квадрат при 1-й переменной:
«собираем» полный квадрат и упрощаем «хвост»:
выделим полный квадрат при 2-й переменной:
Выполним проверку раскрыв все скобки:
– получен исходный вид формы.
Примечание: выполненные замены имеют вид , таким образом, матрица линейного преобразования:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
Читайте также: